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[ID: 3241] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]

Solution(s)

Solution(s)

Groupe des vitesses en relativité restreinte
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41

On a \(\operatorname{th} (u+v) = \dfrac{\operatorname{th} u + \operatorname{th} v}{1 + \operatorname{th} u \operatorname{th} v}\). Donc on pose \(x = \operatorname{th} u\), \(y = \operatorname{th} v\), et on a \(x\star y = \operatorname{th} (u+v) = \operatorname{th} (\mathop{\mathrm{argth}}x + \mathop{\mathrm{argth}}y)\).
On en déduit :

• la loi \(\star\) est interne, puisqu’une tangente hyperbolique appartient à \(\left]-1,1\right[\).

• \((x\star y)\star z = \operatorname{th} (\mathop{\mathrm{argth}}x + \mathop{\mathrm{argth}}y + \mathop{\mathrm{argth}}z) = x\star (y\star z)\).

• \(0\) est élément neutre.

• L’opposé de \(x\) est aussi son inverse pour \(\star\).