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Exercice 1498
Soient \({G=\mathbb{R}^*\times \mathbb{R}}\) et \(\star\) la loi de composition interne définie sur \(G\) par \[\left(x,y\right)\star \left(x',y'\right)=\left(xx',xy'+y\right)\]
Montrer que \(\left(G,\star\right)\) est un groupe.
Montrer que \(\mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R}\) est un sous-groupe de \(\left(G,\star\right)\).
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[ID: 3239] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:41] [Catégorie(s): Groupes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 1498
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini le 18 novembre 2022 15:41
C’est une loi interne : le produit de deux réels non nuls est non nul.
Pour tout \(\left(x,y\right),\left(x',y'\right),p{x'',y''}\in G\), \(\left(\left(x,y\right)\star \left(x',y'\right)\right)\star \left(x'',y''\right)=\left(xx',xy'+y\right)\star \left(x'',y''\right) = \left(xx'x'',xx'y''+xy'+y\right) =\) et \(\left(x,y\right)\star\left(\left(x',y'\right)\star \left(x'',y''\right)\right) = \left(x,y\right)\star\left(x'x'',x'y''+y'\right) = \left(xx'x'',x\left(x'y''+y'\right)+y\right) = \left(xx'x'',xx'y+xy'+y\right)\). Donc \(\star\) est associative.
La loi \(\star\) n’est pas commutative : \(\left(2,0\right) \star \left(1,1\right) = \left(2,2\right)\) et \(\left(1,1\right) \star \left(2,0\right) = \left(2,1\right)\).
Le couple \(\left(1,0\right)\) est élément neutre pour \(\star\) : \(\left(1,0\right) \star \left(x,y\right) = \left(x,y\right) \star \left(1,0\right) = \left(x,y\right)\).
Soit \(\left(x,y\right)\in G\). On pose \(\left(x',y'\right) = \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x},-{\scriptstyle y\over\scriptstyle x}\right)\). On vérifie que \(\left(x,y\right)\star \left(x',y'\right)= \left(1,0\right)\) et \(\left(x',y'\right)\star \left(x,y\right)=\left(1,0\right)\). Donc tout élément \(\left(x,y\right)\in G\) admet un inverse pour \(\star\) : \(\left(x',y'\right)\).
La stabilité est assurée par le fait que le produit de deux nombres positifs est positif.
Les vérifications sont très rapides
si on considère les matrices \(\begin{pmatrix}
x & y \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) qui forment un sous-groupe
du groupe des matrices \(2\times2\)
inversibles. Encore faut-il le voir...et connaître les matrices ce qui
ne va pas tarder...
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