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[ID: 3237] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:38] [Catégorie(s): Loi de composition interne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1497
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:38

On propose deux solutions

1. Soit \(y\in E\). On considère \(y_n = y^{2^n}\). Tous les \(y_n\) appartiennent à l’ensemble fini \(E\). D’après le principe des tiroirs (proposition [principe_des_tiroirs] p. [principe_des_tiroirs]), il existe deux entiers \(n>p\) tels que \(y_n = y_p\). En posant \(z = y_p\) on a \(z^{2^{n-p}} = z\). En multipliant par \(z^k\) on obtient \(z^{2^{n-p}+k} = z^{k+1}\). L’entier \(k\) convenable est obtenu en résolvant \(2^{n-p}+k = 2(k+1)\) soit \(k = 2^{n-p} - 2 \geqslant 0\). On pose \(x = z^{k+1} = z^{2^{n-p} - 1}\). On a bien \(x^2 = x\). Où l’hypothèse d’associativité intervient-elle ? On en a besoin pour définir \(z^k\). Par exemple \(z^3 = z(zz) = (zz)z\).

2. On considère \(F\subset E\) non vide, stable pour \(*\) et qui a le plus petit nombre d’éléments parmi les parties non vides et stables pour \(*\). On va démontrer que pour tout élément \(x\) de \(F\) on a \(x*x = x\), et par suite que \(F\) est réduit à \(\{x\}\).

   Soit \(x\in F\) et soit \(F_x = \left\lbrace y\in F \mid \exists y' \in F, y = x*y' \right\rbrace\). \(F_x\) est stable par \(*\). En effet, soit \((y,z)\in F_x^2\). \(\exists (y',z') \in F^2, y*z = x*y'*x*z'\). Or \(y'*x*z' \in F\) puisque \(F\) est stable par \(*\). Donc on a bien \(y*z\in F_x\).

   De plus, \(F_x \neq \varnothing\) puisque \(x*x\in F_x\). \(F_x \subset F\) et \(F_x\) est stable par \(*\). Donc \(F_x = F\) puisque \(F\) a le plus petit nombre d"éléments. On en déduit que \(x\in F_x\).

   Maintenant l’ensemble \(G_x\) des \(y\) tel que \(x*y=x\) est non vide d’après ce qui vient d’être démontré et est stable par \(*\). En effet, soit \((y,z)\in F_x^2\), \(x*(y*z) = (x*y)*z = x*z = x\). Donc \(G_x = F\), \(x \in G_x\) et \(x*x = x\).