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[ID: 3231] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:38] [Catégorie(s): Loi de composition interne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1494
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:38

1. La loi \(\star\) est clairement commutative. Soient \((p,q,r)\in \mathbb{Z}^{3}\). Calculons \[(p\star q)\star r = (p+q+pq)\star r = p+q+pq+r+pr+qr+pqr\] et \[p\star(q\star r) = p\star(q+r+qr)=p+q+r+qr + pq+pr+pqr .\] La loi est donc associative.

2. Cherchons un élément neutre. On cherche un élément \(e\in \mathbb{Z}\) tel que \(\forall p\in \mathbb{Z}\), \[p\star e = e\star p = p \Longleftrightarrow e(1+p)=0\] On trouve donc un élément neutre : \(e=0\).

3. Soit un entier \(p\in \mathbb{Z}\). Est-ce que l’élément \(p\) possède un symétrique ? On cherche un élément \(q\in \mathbb{Z}\) tel que \(p\star q = q\star p =0\), c’est-à-dire : \[p+q+pq=0 \Longleftrightarrow q(1+p)=-p \Longleftrightarrow (1+p)(1+q) = 1\] Les seuls éléments inversibles sont \(0\) et \(-2\) qui sont leurs propres inverses.
   On suppose \(p\star q = p\star r\) soit \((1+p)(1+q) = (1+p)(1+r)\). On voit ainsi que tous les éléments sont réguliers, sauf \(p=-1\).

4. \((\mathbb{Z} ,\star)\) n’est donc pas un groupe.

5. La stabilité vient de \(1 + a\star b = (1+a)(1+b) \neq 0\). L’associativité se vérifie comme plus haut, \(e=0\) est élément neutre, et \(1+b = \dfrac{1}{1+a}\) fournit un inverse à \(a\) soit \(b = \dfrac{1}{1+a} -1 = -\dfrac{a}{1+a}\).
   Bref, \(\left( \mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\},\star\right)\) est un groupe.