On définit une loi de composition interne \(\star\) sur \(\mathbb{R}\) par : \(\forall \left(a,b\right)\in \mathbb{R}^2,\quad a\star b = \ln\left(e^a+e^b\right)\). Quelles en sont les propriétés ? Possède-t-elle un élément neutre ? Y a-t-il des éléments réguliers ? (On dit qu’un élément \(a\) est régulier si pour tout \(\left(b,c\right)\in \mathbb{R}\), \(a\star b =a\star c \Rightarrow b=c\).

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[ID: 3229] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:38] [Catégorie(s): Loi de composition interne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1493
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:38

On a bien une loi de composition interne : en effet \(\forall \left(a,b\right)\in \mathbb{R}^2,\quad e^a+e^b > 0\) donc \(a\star b\) est bien défini. On a facilement \((a\star b)\star c = \ln\left(\left(e^a+e^b\right) + e^c\right)\) et \(a\star (b\star c) = \ln\left(e^a+\left(e^b + e^c\right)\right)\) et donc \(\star\) est associative. Elle est aussi clairement commutative. Elle ne peut pas avoir d’élément neutre car \(a\star b > b\). Tous les éléments sont réguliers car si \(a\star b =a\star c\) alors \(\ln\left(e^a+e^b\right) = \ln\left(e^a+e^c\right)\) donc \(e^a+e^b = e^a+e^c\) donc \(e^b = e^c\) donc \(b=c\).

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