On considère un polynôme \(P(X) = aX^2 + bX + c \in \mathbb{\mathbb{Z} }_{ }[X]\). Montrer que s’il admet une racine rationnelle, alors au moins un des coefficients est pair.

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[ID: 3227] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:35] [Catégorie(s): Divers ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1492
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:35

Soit \({\scriptstyle p\over\scriptstyle q}\) une racine rationnelle où on a pris \(p\) et \(q\) premiers entre eux. En particulier \(p\) et \(q\) ne peuvent pas être tous les deux pairs. On a alors \(ap^2 + bqr + cq^2 = 0\) en chassant les dénominateurs.

  • Si \(p\) est pair, alors \(ap^2 + bqr\) est pair, \(q\) et \(q^2\) sont impairs. Comme \(cq^2\) est pair, nécéssairement, \(c\) est pair.

  • Si \(q\) est pair, alors, de façon symétrique, \(a\) est pair.

  • Si \(p\) et \(q\) sont impairs, alors si on suppose de plus que les trois coefficients \(a,b\) et \(c\) sont impairs, alors \(ap^2 + bqr + cq^2\) serait la somme de trois nombres impairs et donc serait impair. Contradiction (zéro serait impair).

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Exercice 1492
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