À la suite d’un hold-up, on interroge quatre témoins qui ont vu les malfaiteurs s’enfuir en voiture : Antonin dit que le numéro d’immatriculation comporte quatre chiffres. Bébert, que les deux premiers chiffres sont identiques. Corentin que les deux derniers chiffres sont identiques. Dudule le matheux a remarqué que le nombre en question est un carré parfait. Quel est ce numéro d’immatriculation ?


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[ID: 3223] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:34] [Catégorie(s): Nombres premiers ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1490
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:34

Le numéro d’immatriculation s’écrit \(N = \overline{aabb} = 11\times100a+11b = 11(100a+b)\). Donc \(11\mid N\). Comme \(N\) est un carré parfait, l’exposant de \(11\) dans la décomposition de \(N\) en facteurs premiers est pair. Donc \(11^2 = 121\) divise \(N\) : soit \(N = 121k\). Comme \(N\) est un carré parfait, \(k\) l’est aussi (regarder sa décomposition en facteurs premiers). Donc \(N = 121M^2\) avec \(M\in\mathbb N\). Les essais pour \(M\) variant de \(1\) à \(9\) montrent que seul \(M=8\) convient, et alors \(N = 7744 =88^2\).
Remarque : On pourrait aller plus vite en remarquant qu’un nombre dont les deux derniers chiffres sont impairs n’est jamais un carré parfait. Mais c’est un autre exercice...


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