1. Prouver que pour tout \(x\in\mathbb{C}\) et \(p\in\mathbb{N}\), \[x^p+1=\left(x+1\right)\left(1-x+x^2+\dots+x^{p-1}\right)\]

  2. Soit \(a\in \mathbb{N}\) et \(n\in \mathbb{N}\) tels que \(a^n+1\) est premier.

    1. Montrer qu’il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(n=2^k\).

    2. Que penser de l’affirmation : \(\forall n\in\mathbb{N}, \quad 2^{2^n}+1\) est premier ?


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[ID: 3221] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:34] [Catégorie(s): Nombres premiers ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 1489
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:34
  1. On développe la seconde partie de l’égalité et on simplifie par télescopage.

    1. On va effectuer un raisonnement par contraposée. On suppose que \(n\) n’est de la forme \(n=2^k\) pour aucun \(k\in\mathbb{N}\). Alors \(n\) est de la forme \(pq\) avec \(p>2\) premier et \(q\in\mathbb{N}\). On écrit alors \[a^n+1=a^{pq}+1=\left(a^q\right)^p+1=\left(a^q+1\right)\left(1-a^q+\left(a^q\right)^2-\dots+\left(a^q\right)^{p-1}\right)\] et on remarque que les deux facteurs de ce produit sont strictement plus grand que \(1\). Donc \(a^n+1\) n’est pas premier.

    2. Avec un logiciel de calcul formel, on montre que \(2^{2^5}+1=641\times 6700417\).


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