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[ID: 3217] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:34] [Catégorie(s): Nombres premiers ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1487
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:34

Soit \(p\) et \(q\) deux entiers naturels. On a \(2^{pq} - 1 = \left( 2^p\right)^q - 1^q = \left( 2^p - 1\right) \left( 2^{p(q-1)} + 2^{p(q-2)} + \ldots + 2^p + 1 \right)\). Si on prend \(p\) et \(q\) plus grands que \(1\), alors \(2^p - 1 \geqslant 3\) et la somme \(2^{p(q-1)} + 2^{p(q-2)} + \ldots + 2^p + 1\) comporte \(q\) termes tous plus grands que \(1\). Donc \(2^{pq} - 1\) est composé. En résumé, si \(pq\) est composé, alors \(2^{pq} - 1\) est composé. Par contraposée, si \(2^n - 1\) est premier, alors \(n\) est premier.