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[ID: 3215] [Date de publication: 18 novembre 2022 15:33] [Catégorie(s): Nombres premiers ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Petit théorème de Fermat
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 15:34

1. Soit \(k\in\llbracket 1,p-1\rrbracket\). On sait que \(A_p^k=k!\dbinom{p}{k}\). Mais \(p\mid A_p^k=p\left(p-1\right)\dots\left(p-n+1\right)\) donc comme \(p\) est premier \(p\mid k!\) ou \(p\mid\dbinom{p}{k}\). Si \(p\mid k!\) alors \(p\) divise un des entiers \(1,2,\dots,k<p\) ce qui n’est pas possible et prouve la propriété.

2. On effectue un raisonnement par récurrence. Si \(n=0\) alors la propriété est vérifiée. Soit \(n\in\mathbb{N}\). On la suppose vraie au rang \(n\) : \(p\mid n^p-n\) et on montre que \(p\mid \left(n+1\right)^p-\left(n+1\right)\). On utilise la formule du binôme  : \[\begin{aligned} \left(n+1\right)^p-\left(n+1\right)= \sum_{k=0}^{p} \dbinom{p}{k}n^k-\left(n+1\right)=n^p-n+ \sum_{k=1}^{p-1} \dbinom{p}{k}n^k.\end{aligned}\] Comme \(p\mid n^p-n\) et que \(p\mid\dbinom{p}{k}\) pour \(k\in\llbracket 1,p-1\rrbracket\), on sait que \(p\mid\left(n+1\right)^p-\left(n+1\right)\) et le petit théorème de Fermat est prouvée par récurrence pour \(n\geqslant 0\). Si \(n<0\) et si \(p=2\) alors \(n^2-n=n\left(n-1\right)\) est clairement divisible par \(2\). Si \(p>2\), comme \(p\) est premier il est impair et en notant \(m=-n\), on a \(n^p-n=-m^p+m=-\left(m^p-m\right)\) qui est divisible par \(p\).