On considère la suite de Fibonacci définie par \[u_0 = 0,~u_1 = 1,~ \textrm{ et } \forall n \in \mathbb N, u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\]

  1. Montrer que \(\forall n \geqslant 1\), \(u_{n+1}u_{n-1} - u_n^2 = (-1)^n\).

  2. Montrer que deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci sont premiers entre eux.

  3. Montrer que \[\forall n \in \mathbb N,\quad \forall p \in \mathbb{N}^*,\quad u_{n+p} = u_n u_{p-1} + u_{n+1} u_p\] et en déduire que \[u_n \wedge u_p = u_n \wedge u_{n+p}.\]

  4. Montrer que \[\forall (n, m) \in \mathbb{N}^{2},\quad u_n \wedge u_m = u_{n\wedge m}.\]

  5. Montrer que pour tout entier \(n \geqslant 5\), si \(u_n\) est un nombre premier, alors \(n\) est un nombre premier. La réciproque est-elle vraie ?


Barre utilisateur

[ID: 3213] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:51] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Suite de Fibonacci
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:51
  1. Par récurrence, en écrivant \[u_{n+2}u_n - u_{n+1}^2 = (u_ {n+1}+u_n)u_n - u_{n+1}^2 = u_{n+1}(\underbrace{u_n - u_{n+1}}_{=-u_{n-1}}) + u_n^2 = (-1)^{n+1}.\]

  2. L’identité précédente fournit une identité de Bézout entre \(u_n\) et \(u_{n+1}\).

  3. Par récurrence sur \(p\), en écrivant \(u_{n+p+1} = u_{n+1 + p}\) et en remarquant que \[\begin{aligned} u_{n+p+1} &= u_{n+1}u_{p-1} + u_{n+2}u_p \\ &= u_{n+1} u_{p-1} + (u_{n+1} + u_n) u_p \\ &= u_{n+1}(u_{p-1} + u_p) + u_n u_p \\ &= u_{n+1}u_{p+1} + u_nu_p. \end{aligned}\] De la relation précédente, tout entier qui divise \(u_n\) et \(u_p\) divise \(u_{n+p}\) et tout entier qui divise \(u_n\) et \(u_{n+p}\) divise le produit \(u_{n+1}u_p\), mais comme il est premier avec \(u_{n+1}\), il divise \(u_p\). Donc \[u_n \wedge u_p = u_n \wedge u_{n+p}.\]

  4. Appliquer le résultat précédent en faisant tourner l’algorithme d’Euclide.

  5. Soit \(n\) un entier supérieur à \(5\), tel que \(u_n\) soit premier. Si \(n\) n’était pas premier, on aurait un diviseur propre \(d \geqslant 3\). Mais alors \(u_n\) serait divisible par \(u_d\) avec \(2 \leqslant u_d < u_n\), ce qui est impossible. La réciproque est fausse avec \(n=19\), et \(u_{19} = 5181 = 37 \times 113\).


Documents à télécharger