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Nombres de Fermat
On appelle nombres de Fermat, les entiers de la forme \[F_n = 2^{2^n} + 1,\quad n \in \mathbb N.\]
Montrer que pour tout entier \(x \in \mathbb N\) et tout \(p\in\mathbb{N}^*\), l’entier \(x^{2^p} - 1\) est divisible par \(x + 1\).
Montrer que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.
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[ID: 3211] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:51] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Nombres de Fermat
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:51
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:51
On a \(1-\left(x^2\right)^p=\left(1-x^2\right)\sum_{k=0}^{p-1} \left(x^2\right)^k\) de quoi découle le résultat.
Soient deux entiers \(n < m\). Posons \(p = m - n\) et écrivons \[F_m - 2 = 2^{2^m} - 1 = 2^{2^{n+p}} - 1 = 2^{2^n2^p} - 1 = \Bigl(2^{2^n}\Bigr)^{2^p} - 1\] Mais pour tout entier \(x\), l’entier \(x^{2^p} - 1\) est divisible par \(x + 1\). Il existe donc un entier \(q \in \mathbb N\) tel que \[F_m - 2 = (2^{2^n} + 1) q\] c’est-à-dire \[F_m - F_n q = 2.\] Il en résulte que \(F_m \wedge F_n\) est un diviseur de \(2\). Mais puisque les nombres de Fermat sont impairs, le seul diviseur possible est \(1\).
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