Le but de cet exercice est de déterminer l’ensemble \(E\) des triplets \((x, y, z) \in \left(\mathbb{N}^{*}\right)^3\) vérifiant l’équation de Pythagore : \[x^2 + y^2 = z^2.\]

  1. Montrer que pour tout couple \((a, b) \in \left(\mathbb{N}^{*}\right)^2\), le triplet \((a^2 - b^2, 2ab, a^2 + b^2)\) appartient à l’ensemble \(E\). Donner \(3\) éléments distincts de l’ensemble \(E\).

  2. On considère un triplet \((x, y, z) \in E\) vérifiant \(x \wedge y = 1\).

    1. Montrer qu’alors \(x\wedge z = 1\) et \(y \wedge z = 1\).

    2. Montrer que les entiers \(x\) et \(y\) ne sont pas de même parité.

    3. On suppose par exemple que \(x\) est impair et que \(y\) est pair. Montrer qu’il existe deux entiers non nuls \((p, q) \in {\mathbb{N}^*}^2\) premiers entre eux tels que \[x = p - q,~ y = p + q,~ y^2 = 4pq\] Montrer de plus que \(p\) et \(q\) sont des carrés parfaits.

  3. En déduire l’ensemble \(E\).


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[ID: 3209] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:51] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Équation de Pythagore
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:51
  1. Par un calcul simple.

    1. Supposons que \(x\) et \(z\) admettent un diviseur premier commun \(p\). Comme \(p|x\) et que \(p|z\), on a \(p|x^2\) et \(p|z^2\). Mais alors \(p|y^2\) ce qui amène \(p|y\) et alors \(x\wedge y\neq 1\). On montre de même que \(y \wedge z = 1\).

    2. Si \(x\) et \(y\) étaient pairs, \(2 | x\wedge y\), ce qui est impossible. Si on suppose \(x\) impair, et \(y\) impair, alors \(x^2+y^2 \equiv 2 \; [ 4 ]\), ce qui est impossible car \(z^2 \equiv 0 \; [ 4 ]\) (regarder la décomposition de \(z\) en facteurs premiers, et la puissance de \(2\)).

    3. Posons \(p = (z + x)/2\) et \(q = (z-x)/2\). Ce sont des entiers car \(z\) et \(x\) sont impairs. Ils sont positifs car \(z > x\). Comme \(x\wedge z = 1\), d’après Bézout, il existe \((u, v) \in \mathbb{Z}^2\) tels que \(ux + vz = 1\), mais alors \((u+v)p + (v-u)q = 1\) ce qui montre que \(p \wedge q = 1\). Alors \(4pq = z^2 - x^2 = y^2\).

      Comme \(p \wedge q = 1\), ils n’ont pas de facteurs premiers en commun dans leur décomposition. Comme \(pq = y^2/4\) est un carré, tous les exposants dans la décomposition de \(p\) et \(q\) sont pairs, ce qui montre que \(p\) et \(q\) sont des carrés.

  2. Soit \((x, y, z) \in E\). si \(x\wedge y \neq 1\), en posant \(\delta = x \wedge y\), on a \(\delta^2(x'^2 + y'^2) = z^2\) et donc \(\delta^2 / z^2\), par conséquent, il existe \(z'\in\mathbb N\) tel que \(z^2 = \delta^2 z'^2\) (comme \(z^2\) est un carré, \(z^2 / \delta^2\) en est encore un comme on le voit en examinant la décomposition en facteurs premiers). Alors \(x'^2 + y'^2 = z'^2\) avec \(x' \wedge y' = 1\). D’après la question précédente, il existe \((a, b) \in {\mathbb{N}^*}^2\) tels que \((x, y, z) = \delta^2(a^2-b^2, 2ab, a^2 + b^2)\). On a donc montré (avec la première question) que \[E = \{\delta^2(a^2 - b^2, 2ab, a^2 + b^2)~|~(a, b) \in {\mathbb{N}^*}^2,~ \delta \in \mathbb N\}\]


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