Soit un entier \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Montrer qu’il existe \((a_n,~b_n) \in \mathbb{Z}^{2}\) tels que \((1 + \sqrt{2})^n = a_n + \sqrt{2}b_n\). Montrer ensuite que les entiers \(a_n\) et \(b_n\) sont premiers entre eux.


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[ID: 3207] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:51] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1482
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:51

Par le binôme : \[(1+\sqrt{2})^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} \sqrt{2}^k = \sum_{p=0}^{E(n/2)} \dbinom{n}{2p} 2^p + \sqrt{2} \sum_{p=0}^{E((n-1)/2)} \dbinom{n}{2p+1} 2^p\] Il suffit de poser \[a_n = \sum_{p=0}^{E(n/2)} \dbinom{n}{2p}2^p\quad b_n = \sum_{p=0}^{E((n-1)/2)} \dbinom{2}{2p+1} 2^p\] De la même façon, on montre l’existence de \((c_n, d_n) \in \mathbb{Z}^2\) tels que \((\sqrt{2}-1)^n = c_n + \sqrt{d_n}\). En effectuant le produit, \[1 = (\sqrt{2} - 1)^n(\sqrt{2} + 1)^n = a_nc_n + 2b_nd_n + \sqrt{2}(b_nc_n + d_n a_n)\] Mais puisque dans le \(\mathbb{Q}\)-espace vectoriel \(\mathbb{R}\), le système \((1, \sqrt{2})\) est libre, il vient que \(b_nc_n + a_nd_n = 0\) et donc on obtient une relation de Bézout entre les entiers \(a_n\) et \(b_n\) : \[c_n a_n + 2d_nb_n = 1\] ce qui montre que les entiers \(a_n\) et \(b_n\) sont premiers entre eux.


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