Trouver le plus petit entier \(n \in \mathbb{N}^{\star}\) tel que le nombre \((\underbrace{1\dots 1}_{n \times } )_{10}\) soit divisible par \(49\).


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[ID: 3205] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:51] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1481
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:51

Le nombre s’écrit \[1 + 10 + \cdots + 10^{n-1} = \dfrac{10^n - 1}{9}\] Supposons qu’il soit divisible par \(49 = 7^2\). Il existe \(k \in \mathbb N\) tel que \(10^n = 1 + 3^2\times 7^2 \times k\), et nécessairement, on doit avoir \(10^n \equiv 1 \; [ 7 ]\). En examinant les puissances de \(10\) dans \(\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}\), on voit qu’il est nécessaire que \(n = 6p\). Alors \(10^{6p} = (10^2)^{3p} = 2^{3p} = 8^{p}\) dans \(\mathbb{Z} / 49 \mathbb{Z}\). Mais en examinant les puissances de \(8\) dans \(\mathbb{Z} / 49 \mathbb{Z}\), on voit qu’il est nécessaire que \(p = 7l\) et donc nécessairement, \(n = 42 j\). Réciproquement, si \(n = 42j\), \(10^n - 1\) est divisible par \(7^2\) et par \(3^2\), et donc par \(9 \times 49\) puisque \(7^2\) et \(3^2\) sont premiers entre eux. Il vient donc que \((10^{n} - 1) / 9\) est divisible par \(49\). Le plus petit entier \(n\) vaut donc \(42\).


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