On dit qu’une fraction \(m/n\) est basique si \(0< m < n\). Considérons les fractions basiques de dénominateur \(12\) : \[{\scriptstyle 0\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 2\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 3\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 4\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 5\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 6\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 7\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 8\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 9\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 10\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 11\over\scriptstyle 12}\] Après réduction, et en groupant ces fractions selon leurs dénominateurs, on obtient \[{\scriptstyle 0\over\scriptstyle 12}~;~{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}~;~{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3},{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}~;~{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}, {\scriptstyle 3\over\scriptstyle 4}~;~{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6},{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 6}~;~{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 7\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 11\over\scriptstyle 12}\] En s’inspirant de cette idée, montrer que pour tout entier \(m \geqslant 2\), \[\sum_{d / m} \varphi(d) = m\] où \(\varphi\) est l’indicateur d’Euler vu en TD.

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[ID: 3203] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:51] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1480
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:51

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