Soit un entier \(n\) dont la décomposition en facteurs premiers s’écrit \(n = p_1^{\alpha_1}\dots p_k^{\alpha_k}\). Déterminer l’ensemble des éléments nilpotents de l’anneau \((\mathbb{Z} / n \mathbb{Z} , +, \times)\).


Barre utilisateur

[ID: 3201] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:50] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 1479
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:50

Soit \(A \in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}\) un élément nilpotent, et un représentant \(a \in \mathbb{Z}\) de la classe de \(A\). Comme \(A\) est nilpotent, il existe \(p \in \mathbb{N}^*\) tel que \(A^p = 0\) dans \(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}\). Donc \(n\) divise \(a^p\). Comme \(n = p_1^{\alpha_1}\dots p_k^{\alpha_k}\), nécessairement, \(p_1\dots p_k\) divise \(a^p\). En décomposant l’entier \(a\) en facteurs premiers, on voit que nécessairement, chaque nombre premier \(p_1,\dots, p_k\) apparaît dans la décomposition de \(a\). Donc nécessairement, \(p_1\dots p_k\) doit diviser \(a\). Réciproquement, si \(p_1\dots p_k\) divise \(a\), il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(a = k p_1\dots p_k\). Mais alors, en posant \(p = \mathop{\mathrm{ppcm}}(\alpha_1, \dots, \alpha_k)\), on voit que \(n\) divise \(a^p\) et donc \(\widehat{a}\) est nilpotent dans \(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}\). En définitive, les éléments nilpotents de l’anneau \(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}\) sont les classes des entiers multiples de \(p_1\dots p_k\).


Documents à télécharger