Soit un nombre premier \(p \in \mathcal{P}\). Montrer que \[(p-1)! \equiv -1 \; [ p ]\]


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[ID: 3199] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:50] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1478
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:50

Raisonnons dans l’anneau \((\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} , +, \times)\) et calculons la classe de \((p-1)! = (p-1) \times (p-2) \times \cdots \times 1\). Comme \(p\) est un nombre premier, l’ensemble des éléments inversibles de \(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}\) est \(U_p = \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \setminus \{0\}\). La classe de \((p-1)!\) est donc le produit de tous les éléments du groupe \(U_p\). Écrivons \(U_p = S \cup P\)\(P\) est l’ensemble des éléments qui sont leur propre symétrique (pour la multiplication) et \(S\) est l’ensemble des éléments qui ne sont pas leur propre symétrique. En groupant les éléments de \(S\) deux par deux, leur produit donne \(1\). Donc \[(p-1)! = \prod_{u \in P} u\] Cherchons donc les éléments de \(U_p\) qui sont leur propre symétrique. Soit \(u \in P\), on doit avoir \(u^2 = 1\) donc \((u-1)(u+1) = 0\). Or comme \(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}\) est un corps, on doit avoir \(u = 1\) ou \(u = -1\). Par conséquent, \[(p-1)! = 1 \times (-1) = -1\] et donc \((p-1)! \equiv -1 \; [ p ]\).


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