Soient \(n\) entiers \((m_1,\dots, m_n) \in {\mathbb{N}^*}^n\) premiers deux à deux entre eux. On pose \(M = m_1\dots m_n\) et \(\forall i \in [1, n ]\), \(M_i = \dfrac{M}{m_i}\).

  1. Montrer que \(\forall i \in [1, n]\), \(m_i \wedge M_i = 1\) et en déduire qu’il existe \(u_i \in \mathbb{Z}\) tel que \(M_i\mu_i \equiv 1 \; [ m_i ]\).

  2. Soient \(n\) entiers \((a_1,\dots, a_n) \in \mathbb{Z}{n}\). On pose \[x = \sum_{j=1}^n a_j M_j \mu_j\] Montrer que \[\begin{cases} x \equiv a_1 \; [ m_1 ] \\ \vdots \\ x \equiv a_n \; [ m_n ] \end{cases}\]

  3. Application : Trouver un entier \(x \in \mathbb N\) tel que \[\begin{cases} x \equiv 3 \; [ 5 ] \\ x \equiv 1 \; [ 6 ] \\ x \equiv 2 \; [ 7 ] \end{cases}\]


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[ID: 3197] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:50] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1477
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:50
  1. Soit \(i \in [1, n]\). Comme \(\forall j \in [1, n] \setminus \{j\}\), \(m_i \wedge m_j = 1\), \(m_i\) est premier avec le produit \(\prod_{j\neq i} m_j = M_i\). Dans l’anneau \(\mathbb{Z} / m_i \mathbb{Z}\), la classe \(\widehat{M_i}\) est donc inversible. Il existe donc \(\widehat{\tild{ M_i}} \in \mathbb{Z} / m_i \mathbb{Z}\) tel que \(\widehat{M_i}\times \widehat{\tild{M_i}} = \widehat{1}\). En considérant le représentant \(\mu_i\) de la classe \(\widehat{\tild{M_i}}\) dans \([0, m_i - 1]\), on a bien \(\mu_iM_i \equiv 1 \; [ m_i ]\).

  2. Soit \(i \in [1, n]\). Dans l’anneau \(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}\), on a \[\widehat{x} = \sum_{j \neq i} \widehat{a_j}\widehat{M_j} \widehat{\mu_j} + \widehat{a_i}\widehat{\mu_i}\widehat{M_i} = \sum_{j\neq i} \widehat{a_j}\widehat{M_j}\widehat{\mu_j} + \widehat{a_i} = \widehat{a_i}\] En effet, pour \(j\neq i\), \(m_i\) divise \(M_j\) et donc \(\widehat{M_j} = \widehat{0}\). Par conséquent, \(x \equiv a_i \; [ m_i ]\).

  3. On a ici \(m_1 = 5\), \(m_2 = 6\) et \(m_3 = 7\) qui sont premiers deux à deux entre eux. Avec les notations précédentes, on a ici \(M_1 = 42\), \(M_2 = 35\) et \(M_3 = 30\). Dans \(\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z}\), \(\widehat{42} = \widehat{2}\) et on peut prendre par exemple \(\mu_1 = 3\). Dans \(\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}\), \(\widehat{35} = \widehat{-1}\) et on peut prendre \(\mu_{2} = -1\). Dans \(\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}\), \(\widehat{30} = \widehat{2}\) et on peut prendre \(\mu_3 = -3\). Alors on trouve une solution (pas forcément le plus petit entier) au système de congruences : \[x = 3\times 42 \times 3 - 1 \times 35 - 3\times 2 \times 30 = 163\]


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