Soient deux entiers non nuls \((a, b) \in \left(\mathbb{Z}^*\right)^2\) premiers entre eux. Montrez qu’il existe deux entiers \((u, v) \in \mathbb{Z}^{2}\) tels que \[au + bv = 1 \textrm{ et } \lvert u \rvert < \lvert b \rvert ,~ \lvert v \rvert \leqslant\lvert a \rvert .\]


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[ID: 3195] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:50] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1476
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:50

Le résultat est faux dans le cas (sans intérêt) où \(a\) et \(b\) sont égaux à \(\pm1\). Dans les autres cas, quitte à changer \(a\) et/ou \(b\) en leurs opposés, on peut toujours supposer \(a\) et \(b\) positifs. Il suffit pour cela de changer le/les signe/s de \(u\) ou \(v\) selon les cas.

On écrit une relation de Bézout \(au_0 + bv_0 = 1\). Reste à avoir \(-b<u<b\) et \(-a<v<a\) en posant \(u = u_0 +kb\) et \(v = v_0 -ka\) (voir l’exercice précédent). On a bien \(au + bv = 1\). Pour avoir \(\vert u \vert < b\), il suffit de prendre \(-b < v < b\) soit \(-1 -\dfrac{u_0}{b} < k < 1 -\dfrac{u_0}{b}\). On choisit \(k\) entier dans un intervalle ouvert de longueur \(2\). On a deux possibilités, sauf lorsque \(\dfrac{u_0}{b}\) est entier (pour \(b=\pm1\)), auquel cas on peut (et on doit) choisir \(k = -\dfrac{u_0}{b}\) et donc \(u=0\) et par suite \(bv = 1\) entraîne bien \(v= \pm1\) et donc \(\lvert v \rvert \leqslant\lvert a \rvert\) puisque dans ce cas on n’a pas \(\lvert a \rvert = 1\).
Lorsque \(\dfrac{u_0}{b}\) n’est pas entier, on a donc deux possibilités pour \((u_1,v_1)\) et \((u_1+b,v_1-b)\) qui vérifient \(\vert u \vert < b\).
Comme \(au + bv = 1\), on a \(0\leqslant au + bv = 1 < ab\). Donc \(ab < -au \leqslant bv < ab -au < ab + ab\) et \(-a < v < 2a\). Deux cas se présentent. Si \(-a < u < a\), alors c’est gagné. Sinon c’est qu’on s’est trompé dans le choix de \(a_1\) et on considère cette fois \(v-a\) qui vérifie \(0\leqslant v-a < a\) et c’est encore gagné.


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