Considérons deux entiers \((a, b) \in \left(\mathbb{Z}^*\right)^2\) premiers entre eux \(a \wedge b = 1\) et un couple de Bézout \((u_0, v_0) \in \mathbb{Z}^{2}\) tel que \(au_0 + bv_0 = 1\). Déterminer l’ensemble de tous les couples de Bézout \((u, v) \in \mathbb{Z}^{2}\) vérifiant \(au + bv = 1\).

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[ID: 3193] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:50] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1475
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:50

Soit \(\left(u,v\right)\) un couple d’entiers vérifiant la relation \(au+bv=1\). Par soustraction on a \(a(u-u_0) = b(v_0-v)\). Donc \(b\) divise \(a(u-u_0)\). Puisque \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, d’après le lemme de Gauss, \(b\) divise nécessairement \(u-u_0\), donc il existe \(k\in\mathbb Z, u-u_0 = kb\) ou \(u = u_0 + kb\). En remplaçant \(u-u_0\) par \(kb\), on obtient alors \(akb = b(v_0-v)\), d’où \(v = v_0 - ka\).
Réciproquement, les couples \((u_0 + kb, v_0 -ka),k\in\mathbb Z\) sont bien solutions.

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