Trouver les couples d’entiers \((x, y) \in {\mathbb{N}^*}^2\) vérifiant \[11 x - 5y = 10 \textrm{ et } x \wedge y = 10.\]


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[ID: 3191] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:50] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1474
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:50

Supposons que \((x, y)\) soit un couple d’entier satisfaisant les hypothèses. Comme \(x \wedge y = 10\), on peut écrire \(x = 10x'\) et \(y=10y'\) avec \(x'\wedge y' = 1\). Alors le couple d’entiers \((x',y')\) vérifie \[11x' - 5y' = 1\] Un couple de Bézout évident est \((x', y') = (1, 2)\). On trouve alors (voir l’exercice [exo_equ_diophantienne]) qu’il existe un entier \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \[x' = 1 + 5k \textrm{ et } y' = 2 + 11k\] d’où nécessairement \[x = 10 + 50k \textrm{ et } y = 20 + 100k\] On vérifie réciproquement que tout couple de cette forme convient.


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