Soient deux entiers non nuls \((a, b) \in {\mathbb{Z}^2}\). On note \(\delta = a\wedge b\) leur pgcd et \(\mu = a \vee b\) leur ppcm. Montrez que \[(a + b) \wedge \mu = \delta.\]


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[ID: 3189] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:50] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1473
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:50

On sait qu’il existe \((a', b') \in \left(\mathbb{Z}^{*}\right)^2\) tels que \(a = \delta a'\), \(b = \delta b'\) et \(a'\wedge b' = 1\). On a de plus \(\delta \mu = ab\) donc \(\mu = \delta a' b'\). Par conséquent, \[(a+b)\wedge \mu = \bigl(\delta(a'+b')\bigr) \wedge (\delta a'b') = \delta \times \bigl((a'+b') \wedge a'b'.\] Mais puisque \(a'\) et \(b'\) sont premiers entre eux, on a également \(a' \wedge (a' + b') = 1\) et \(b' \wedge (a' + b') = 1\) (il suffit d’écrire une relation de Bézout). Donc puisque \(a'\wedge b' = 1\), \(a'b' \wedge (a' + b') = 1\). Finalement, \((a+b)\wedge \mu = \delta\).


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