Soient deux entiers non nuls \((n, m) \in \left(\mathbb{N}^*\right)^2\). On suppose que \(\sqrt[n]{m} \in \mathbb{Q}\). Montrez qu’alors \(\sqrt[n]{m} \in \mathbb{N}^*\).


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[ID: 3187] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:50] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1472
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:50

Comme \(\sqrt[n]{m} \in \mathbb{Q}\), il existe deux entiers \((p, q) \in \left(\mathbb{N}^*\right)^2\) tels que \(\sqrt[n]{m} = p / q\) avec \(p \wedge q = 1\). Alors, \(p^n = m q^n\). Mais puisque \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux, on sait que \(p^n\) et \(q^n\) sont également premiers entre eux. Puisque \(p^n | mq^n\) avec \(p^n \wedge q^n = 1\), d’après le théorème de Gauss, il vient que \(p^n\) divise \(m\). Donc il existe \(k \in \mathbb{N}^*\) tel que \(m = k p^n\). Mais alors on a \(k = \dfrac{1}{q^n}\) et donc \(q^n = 1\). Par conséquent, \(m = p^n\) et donc \(\sqrt[n]{m} = p\).


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