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[ID: 3185] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:50] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1471
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:50

1. On vérifie facilement que \(H_1+H_2\) est un sous-groupe de \(\left(\mathbb{Z},+\right)\). Il contient de plus clairement \(H_1\) et \(H_2\) et donc \(H_1 \cup H_2\). Montrons que c’est le plus petit sous-groupe de \(\left(\mathbb{Z},+\right)\) à vérifier cette propriété. Soit \(H'\) un sous-groupe de \(\left(\mathbb{Z},+\right)\) qui contient \(H_1 \cup H_2\). Alors \(H'\) doit contenir toutes les sommes \(h_1 + h_2\) avec \(h_1\in H_1\) et \(h_2\in H_2\). Donc \(H\subset H'\).

2. Déterminons le sous-groupe \(H=4\mathbb{Z} + 6\mathbb{Z}\). Ces élements sont de la forme \(4a+6b\) avec \(a,b\in\mathbb{Z}\). Comme \(4\wedge 6=2\), d’après le théorème de Bézout, il existe \(u,v\in\mathbb{Z}\) tels que \(4u+6v=2\) donc pour tout \(k\in\mathbb{Z}\), \(4uk+6vk=2k\) et \(H\) contient tous les entiers pairs. Réciproquement, tout élément de \(H\) est pair donc \(\boxed{4\mathbb{Z} + 6\mathbb{Z} =2\mathbb{Z}}\).

3. En suivant le même raisonnement que précédemment, on pourrait montrer que \(a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=\left(a\wedge b\right)\mathbb{Z}\) donc \(a\mathbb{Z} \cup b\mathbb{Z} \subset c \mathbb{Z}\) si et seulement si \(c\mid a\wedge b\).