On se donne trois entiers non nuls \((A, B, C) \in {\mathbb{Z}^*}^3\), et on considère l’équation diophantienne : \[(E)~:~ Ax + By = C\quad(x, y) \in \mathbb{Z}^{2}\] Résoudre cette équation consiste à déterminer l’ensemble des solutions \(\mathcal{S} = \{(x, y) \in \mathbb{Z}^{2} \mid Ax + By = C\}\).

  1. Notons \(\delta = A \wedge B\). Montrer que si \(\delta\) ne divise pas \(C\), alors \(\mathcal{S} = \varnothing\) ;

  2. On suppose désormais que \(\delta | C\). Il existe trois entiers non nuls \((A', B', C') \in {\mathbb{Z}^*}^3\) tels que \(A = \delta A'\), \(B = \delta B'\) avec \(A' \wedge B' = 1\), et \(C = \delta C'\). Montrer que l’équation \((E)\) a même ensemble de solutions que l’équation \[(E')~:~ A'x + B'y = C'\]

  3. Comment trouver une solution particulière de l’équation \((E')\) ?

  4. En déduire l’ensemble \(\mathcal{S}\) de toutes les solutions ;

  5. Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) l’équation \[(E)~:~ 24 x + 20 y = 36\]


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[ID: 3183] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:50] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Une seconde équation diophantienne
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:50
  1. Par contraposée, si \(\mathcal{S} \neq \varnothing\) alors il existe \(\left(x,y\right)\in\mathbb{Z}^2\) tel que \(Ax+By=C\). Comme \(\delta\mid A\) et \(\delta\mid B\), \(\delta \mid C\).

  2. Soit \(\left(x,y\right)\) une solution de \(\left(E\right)\). Alors \(Ax+By=C\). Comme \(A,B,C\) sont divisibles par \(\delta\), on peut écrire \(A'x+B'y=C'\) et \(\left(x,y\right)\) est solution de \(\left(E'\right)\). Réciproquement, si \(\left(x,y\right)\) est solution de \(\left(E'\right)\) alors \(A'x+B'y=C'\) et en multipliant par \(\delta\), on obtient \(Ax+By=C\) et \(\left(x,y\right)\) est solution de \(\left(E\right)\).

  3. Comme \(A'\) et \(B'\) sont premiers entre eux, on peut déterminer un couple \(\left(u,v\right)\) de coefficients de Bézout tels que \(A'u+B'v=1\). Alors \(\left(C'u,C'v\right)\) est une solution de \(\left(E'\right)\).

  4. On considère une solution particulière \(\left(u,v\right)\) de \(\left(E'\right)\). On cherche une autre solution de \(\left(E'\right)\). On peut l’écrire \(\left(u+a,v+b\right)\)\(a,b\in\mathbb{Z}\). On doit alors avoir \(A'\left(u+a\right)+B'\left(u+v\right)=C'\) soit \(A'a+B'b=0\). Comme \(A'\wedge B'=1\), on en déduit, grâce au théorème de Gauss, que \(a\) est un multiple de \(B'\) et que \(b\) est un multiple de \(A'\) : \(a=kB'\) et \(b=lA'\). On injecte dans \(A'a+B'b=0\) et on trouve que \(l=-k\). Donc une solution de \(\left(E'\right)\) est de la forme \(\left(u+kB',v-kA'\right)\)\(k\in\mathbb{Z}\). Réciproquement, on vérifie facilement que tout couple de cette forme est solution de \(\left(E'\right)\). Finalement \(\boxed{\mathscr S= \left\{\left(u+kB',v-kA'\right)|k\in\mathbb{Z}\right\}}\).

  5. On applique les questions précédentes. Les solutions de \(\left(E\right)\) sont celles de \(\left(E'\right)~:~6x+5y=9\). Un couple de coefficients de Bézout pour \(6\) et \(5\) est \(\left(1,-1\right)\). Donc une solution particulière de \(\left(E'\right)\) est \(\left(9,-9\right)\) Les solutions de \(\left(E\right)\) sont les couples \(\boxed{\left(9+5k,-9-6k\right)}\)\(\left(k,l\right)\in\mathbb{Z}^2\).


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