Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) l’équation \(1665x+1035y=45\).


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[ID: 3181] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:50] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Une équation diophantienne
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:50

Comme \(1665\wedge 1035=45\) cette équation est équivalente à \(37x+23y=1\). Comme \(37\) et \(23\) sont premiers entre eux cette équation admet des solutions par le théorème de Bézout. Une d’entre elles est par exemple donnée par \(x=5\) et \(y=-8\). Les autres s’en déduisent, elles sont de la forme \(\left(5-23k,-8+37k\right)\). En effet, elles sont de la forme \(\left(5+a,-8+b\right)\) avec \(\left(a,b\right)\in\mathbb{Z}^2\). On injecte dans \(37x+23y=1\) et il vient que \(37a+23b=0\). Comme \(23\) et \(37\) sont premiers, on en déduit que \(23\mid a\) et \(37\mid b\). Donc il existe \(k,k'\in \mathbb{Z}\) tels que \(a=23k\) et \(b=37k'\). On injecte dans l’égalité \(37a+23b=0\) et on trouve que \(k=-k'\) d’où la forme des solutions. Réciproquement, toute couple de cette forme est solution de l’équation.


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