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[ID: 3179] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:50] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1468
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:50

Soient \(\left(a,b\right)\in\mathbb{N}^2\) un couple solution du problème. Alors il existe \(\left(a',b'\right)\in \mathbb{N}^2\) tel que \(a=18a'\), \(b=18b'\) et \(a'\wedge b'=1\). Comme \(ab=126\), on sait que \(a'b'=7\). Les seuls couples à vérifier cette propriété sont \(\left(1,6\right),\left(2,5\right),\left(3,4\right)\). On multiplie par \(18\) pour retrouver les couples \(\left(a,b\right)\) : \(\left(18,108\right),\left(36,90\right)\),\(\left(54,72\right)\). Réciproquement, chacun de ces couples vérifie les deux conditions.