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[ID: 3177] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:50] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1467
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:50

Soit \(\left(a,b\right)\in\mathbb{N}^2\) un couple solution du problème. Alors il existe \(\left(a',b'\right)\in \mathbb{N}^2\) tel que \(a=18a'\), \(b=18b'\) et \(a'\wedge b'=1\). De plus comme \(a+b=360\), on sait que \(a'+b'=360/18=20\). En résumé, \(\left(a',b'\right)\) est un couple de deux entiers premiers entre eux et de somme \(20\). Les seuls couples à vérifier cette propriété sont \[\left(1,19\right),\left(3,17\right)\left(7,13\right),\left(9,11\right).\] On multiplie ces couples par \(18\) pour retrouver le couple \(\left(a,b\right)\) : \[\left(18,342\right),\left(54,306\right),\left(126,234\right),\left(162,198\right) .\] Réciproquement, chacun de ces couples vérifie les deux conditions.