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[ID: 3175] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:50] [Catégorie(s): Bézout, PGCD, PPCM ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1466
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:50

1. On suppose que \(a\) et \(a+b\) ne sont pas premiers entre eux. Alors soit \(k\) un diviseur commun à \(a\) et \(a+b\) différent de \(1\). Comme \(k\mid a\) et que \(k\mid a+b\), \(k \mid b\) et donc \(k\mid a\wedge b=1\) ce qui n’est pas possible. Donc \(a\wedge \left(a+b\right)=1\). La seconde relation se prouve en échangeant les lettres \(a\) et \(b\) dans la première.

2. Comme avant, on suppose que \(ab\) et \(a+b\) ne sont pas premiers entre eux. Alors soit \(k\) un diviseur premier commun à \(ab\) et \(a+b\) différent de \(1\). Comme \(k\mid ab\), \(k\mid a\) ou \(k\mid b\). On suppose que \(k\mid a\), alors comme avant, comme \(k\mid a+b\), \(k\mid b\) et donc \(k\mid a\wedge b=1\) ce qui n’est pas possible.