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[ID: 3169] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:42] [Catégorie(s): Divisibilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1463
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:42

Par récurrence. La propriété est vraie au rang \(0\). Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(6\mid 5n^3+n\) et montrons que \(6\mid 5\left(n+1\right)^3+n+1\). On calcule : \(5\left(n+1\right)^3+n+1 = 5n^3+n+15n^2+15n+6\). Mais \(6\mid 5n^3+n\) d’après l’hypothèse de récurrence. Comme \(3\mid 15\) que et \(2\mid n^2+n=n\left(n+1\right)\) ( \(n\) ou \(n+1\) est pair), \(6\mid 15n^2+15n\) et la propriété reste vraie au rang \(n+1\). On termine en appliquant le théorème de récurrence.