Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) l’équation \(x-1\mid x+3\).


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[ID: 3163] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:42] [Catégorie(s): Divisibilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1460
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:42

On remarque que \(1\) n’est pas une solution de l’équation. On suppose donc que \(x\neq 1\) et on écrit : \[x-1\mid x+3 \Longleftrightarrow \dfrac{x+3}{x-1}=1+\dfrac{4}{x-1}\in\mathbb{Z}.\] Mais les diviseurs de \(4\) sont \(\pm 1,\pm 2, \pm 4\). Donc \(x\) est solution de l’équation si et seulement si \(x-1\) est égal à un de ces \(6\) nombres. On trouve alors pour l’ensemble solution \(\boxed{\left\{-3,-1,0,2,3,5\right\}}\).


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