Déterminer le nombre de diviseurs de \(10!\)


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[ID: 3161] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:42] [Catégorie(s): Divisibilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1459
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:42

On sait que \(10!=1\times2\times3\times\dots\times10\) donc \(10!=2^{8}.3^4.5^2.7\) et un diviseur de \(10!\) est de la forme \(2^a.3^b.5^c.7^d\) avec \(a\in\llbracket 0,8\rrbracket\), \(b\in\llbracket 0,4\rrbracket\), \(c\in\llbracket 0,2\rrbracket\) et \(d\in\llbracket 0,1\rrbracket\). Réciproquement, tout nombre de cette forme divise \(10!\). On compte alors \(9\times5\times3\times2=\boxed{270}\) diviseurs de \(10!\).


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