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Exercice 1455
On considère un entier \(a \geqslant 1\), et le nombre \(n\) qui s’écrit \(n = (111111)_a\) en base \(a\). Montrez que \(n\) n’est pas premier.
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[ID: 3153] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:42] [Catégorie(s): Divisibilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 1455
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:42
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:42
On a \[n = 1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 = (a+1)(1+a^2+a^4)\] et donc \(n\) est divisible par \(a+1\). Comme \(a\geqslant 1\), on \(a+1\neq 1\) et \(1+a^2+a^4\neq 1\) et donc \(n\) n’est pas premier.
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