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[ID: 3151] [Date de publication: 18 novembre 2022 14:42] [Catégorie(s): Divisibilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1454
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 18 novembre 2022 14:42

Notons \(S\) la somme recherchée. On sait que \(0 + 1 + \dots + (n-1) = \dfrac{n(n-1)}{2}\),

Étudions deux cas selon la parité de \(n\) :

1. si l’entier \(n\) est impair, \((n-1)\) est pair et par conséquent, \(S = \widehat{n} \times \widehat{(n-1)/2} = 0\) ;

2. si l’entier \(n\) est pair, il s’écrit \(n = 2p\), et donc \(S = \widehat{p} \times \widehat{(n-1)} = -\widehat{p} = \widehat{n-p} = \widehat{p}\).

En conclusion, \[S = \begin{cases} 0 & \textrm{ si } n \textrm{ impair }\\ \dfrac{n}{2} & \textrm{ si } n \textrm{ pair} \end{cases}\]