Le but de cet exercice est la construction d’une fonction infiniment dérivable non identiquement nulle et nulle en dehors d’une intervalle fermé.

Étant donné \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\), on appelle support de \(f\) le plus petit fermé de \(\mathbb R\) tel que \(f\) soit nulle sur son complémentaire. Si le support est borné, on dit que \(f\) est à support compact. Soit \(\alpha\) un réel strictement positif, on définit la fonction \(H_\alpha\) sur \(\mathbb R\) par \[H_\alpha(x)=\begin{cases} 1/\alpha,\quad&{\text{si }}\ x\in]0,\alpha[,\\ 0,\quad&\text{sinon.}\end{cases}\] Soit \((a_n)_n\) une suite décroissante de réels strictement positifs telle que la série \(\sum_n a_n\) converge, on note \(a\) sa somme. Pour \(m\in\mathbb N\) on désigne par \(\mathscr C^m_{0,a}\) l’ensemble des fonctions de classe \(\mathscr C^m\) sur \(\mathbb R\) à support inclu dans \([0,a]\).

1) Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) ou possédant un nombre fini de discontinuités et à support compact. On définit la fonction \(f*g\) pour \(x\in\mathbb R\) pa r \[(f*g)(x)=\int_\mathbb R\, f(t)g(x-t)dt.\] Montrer que \(f*g\) est une fonction à support compact et plus précidément si pour \(\alpha,\beta\in\mathbb R_+^\star\), \(f\) (resp. \(g\)) est à support compact dans \([0,\alpha]\) (resp. \([0,\beta]\)), alors \(f*g\) est à support compact dans \([0,\alpha+\beta]\). Donner également une expression simple de \[\int_\mathbb R\,(f*g)(x)dx.\] 2) On définit la fonction \(u_1\) par \[u_1=H_{a_0}*H_{a_1}.\] Déterminer explicitement \(u_1\) et en déduire \(m_1\) le plus grand entier tel que \(u_1\) appartienne à \(\mathscr C^m_{0,a}\).

3) On définit maintenant la fonction \(u_k\) par \[u_k=u_{k-1}*H_{a_k}.\] Déterminer \(m_k\) le plus grand entier tel que \(u_k\) appartienne à \(\mathscr C^m_{0,a}\).

4) Montrer que pour \(k\geq 2\) et pour tout \(x\in\mathbb R\), on a pour tout \(j\leq m_k\), \[\vert u^{(j)}_k(x)\vert\leq \dfrac{2^j}{a_0\dots a_j}.\]

5) Montrer que pour tout couple d’entiers \(k,m\) supérieurs ou égaux à 2, et pour tout \(x\in\mathbb R\), on a : \[\vert u_{k+m}(x)-u_m(x)\vert \leq 2\cdot\dfrac{a_{m+1}+\cdots +a_{m+k}}{a_0a_1}.\]

6) Montrer que, quand \(k\) tends vers \(+\infty\), la suite \((u_k)_k\) converge uniformément sur \(\mathbb R\) vers une fonction \(u\) appartenant à \(\mathscr C^\infty_{0,a}\). Montrer également que \[\int_\mathbb R\, u(x)dx=1.\]

Barre utilisateur

[ID: 3137] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

\(\forall\,F\) fermé dans \(\mathbb R\), \(\exists\ f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ F=f^{-1}(0)\). (part. 3)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

Documents à télécharger

\(\forall\,F\) fermé dans \(\mathbb R\), \(\exists\ f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ F=f^{-1}(0)\). (part. 3)
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice