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[ID: 3135] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

\({\text{dist}}(a, \ker(T))\) où \(T\) est une forme linéaire continue.
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

1. Pour \(u\in\ker(T)\) on a \[\vert T(a)\vert=\vert T(a-u)\vert\leq \mid\mid\mid T\mid\mid\mid\cdot\Vert a-u\Vert,\] par conséquent, en passant à la borne inférieure pour \(u\in\ker(T)\) : \[\Vert T(a)\Vert\leq \mid\mid\mid T\mid\mid\mid\cdot{\text{dist}} (a,\ker(T)),\] soit \[{\mid\mid\mid T\mid\mid\mid}\leq\dfrac{\vert T(a)\vert}{{\text{dist}}(a, \ker(T))}\] Pour obtenir l’inégalité inverse, avec la définiton de \(\mid\mid\mid T\mid\mid\mid\), il suffit de montrer que pour tout \(x\in E\) : \[\vert T(x)\vert \leq \dfrac{\vert T(a)\vert}{{\text{dist}}(a, \ker(T))}\cdot \Vert x\Vert.\] Si \(T(x)=0\) il n’y a rien à démontrer, on peut donc supposer \(T(x)\neq 0\) et l’inégalité étant homogène en \(x\) on peut, quitte à remplacer \(x\) par \(\frac{T(a)}{T(x)}x\) supposer que \(T(x)=T(a)\). Alors \(x-a\in\ker(T)\) qui implique \({{\text{dist}}(x, \ker(T))}={{\text{dist}}(a, \ker(T))}\) (l’écrire) et finalement comme \(\Vert x\Vert\geq {{\text{dist}}(x, \ker(T))}\) : \[\vert T(x)\vert \leq \vert T(x)\vert\cdot\,\dfrac{\Vert x\Vert}{{{\text{dist}}(x, \ker(T))}} = \vert T(a)\vert\cdot\,\dfrac{\Vert x\Vert}{{{\text{dist}}(a, \ker(T))}}\] CQFD.