Soit \(F\) un fermé de \(\mathbb R\), construire une fonction \(f\in\mathbb C^\infty(\mathbb R, \mathbb R_+^\star)\) telle que \(F=f^{-1}(0)\). Commencer par traiter le cas où \(\Omega=\mathbb R\setminus F\) est un intervalle.


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[ID: 3133] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

\(\forall\,F\) fermé dans \(\mathbb R\), \(\exists\ f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ F=f^{-1}(0)\).
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

-Lorsque \(\Omega=]a,b[,\ a,b\in\mathbb R\) on peut choisir \[f(x)=\begin{cases} \exp\left( -(x-a)^{-2}(x-b)^{-2}\right),\quad &x\in ]a,b[\\ 0, &\text{sinon,}\end{cases}\] et si \(\Omega\) est non borné, par exemple \(\Omega=]a,+\infty[\) \[f(x)=\begin{cases} \exp\left( -(x-a)^{-2}\right),\quad &x\in ]a,+\infty[\\ 0, &\text{sinon.}\end{cases}\] Ces fonctions sont classiquement \(\mathscr C^\infty\) et vérifient les propriétés recquises. Il est important pour la suite de bien observer que les dérivées à tout ordre de ces fonctions sont bornées sur \(\mathbb R\).

-Pour un fermé arbitraire \(F\) de \(\mathbb R\), \(\Omega=\mathbb R\setminus F\) est réunion au plus dénombrable1 d’intervalles deux à deux disjoints \[\Omega=\bigcup_n \,]a_n,b_n[.\] Si l’on désigne par \(f_n\) la fonction associée à \(]a_n,b_n[\) dans la première étape, posons pour tout entier \(n\) \[M_n=\max_{0\leq k\leq n}\sup\left\lbrace \vert f_n^{(k)}(x)\vert,\ x\in\mathbb R\right\rbrace.\] Alors le théorème de Weierstrass de dérivation des séries de fonctions assure que la formule \[f=\sum_{n\geq 1}\,\dfrac{f_n}{n^2M_n}\] définit une fonction \(f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\) qui possède les propriétés désirées.

 Remarque : Avec le même esprit, on peut étendre ce résultat à \(\mathbb R^d\) :

1) Soit \(B\subset \mathbb R^d\). Montrer qui existe \(f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R^d)\) positive telle que \(f^{-1}(0)=\mathbb R^d\setminus B\).

2) Soient \(\Omega\subset\mathbb R^d\), \((g_n)_n\) une suite dans \(\mathscr C^\infty(\mathbb R^d)\), montrer qu’il existe une suite \((\mu_n)_n\) de réels strictement positifs telle que la série \(\sum_n\,\mu_n g_n\) converge dans \(\mathscr C^\infty(\mathbb R^d)\).

3) Soit \(E\subset\Omega\) un fermé de \(\mathbb R^d\). En observant que \(\Omega\setminus E\) est réunion dénombrable de boules ouvertes, montrer qu’il existe \(f\in\mathscr C^\infty(\Omega)\) positive, telles que \(E=f^{(-1)}(0)\).

4) Si \(E\) et \(F\) sont deux fermés disjoints dans \(\Omega\), montrer qu’il existe \(f\in\mathscr C^\infty(\Omega)\) telle que \(0\leq f\leq 1,\ E=f^{(-1)}(0),\ F=f^{-1}(1)\).


  1. 1  \(\Omega\) est la réunion disjointe de ses composantes connexes qui sont des intervalles et sont au plus dénombrable car \(\mathbb R\) admet une base dénombrable de voisinages (les intervalles à extrémités rationelles).

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