Dans une urne on met une boule numérotée \(1\), deux boules numérotées \(2\) et ainsi de suite jusqu’à \(n\) boules numérotées \(n\). On tire une à une les boules avec remise jusqu’a obtention des \(n\) chiffres \(1,2,\cdots,n\). À un tel tirage on associe la permutation de \(\{1,2,\dots,n\}\) que l’on botient si on supprime les boules associées à un numéro deja sorti (par exemple si \(n=4\) le tirage \(4434342241\) donne la permutation \(4321\)). Soit \(X_n\) la variable aléatoire position de \(n\) dans la permutation obtenue. Montrer que \[\lim_{n\to\infty}\dfrac{E(X_n)}{n}=1-\log(2).\]

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[ID: 3129] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Générer des permutation avec des urnes
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

Soit \(Y_i\) (\(1\leq i\leq n-1\)) la variable aléatoire définie par \[Y_i=\begin{cases}1\quad\text{si une balle marquée i est choisie avant une marquée } n,\\ 0,\quad \text{sinon.}\end{cases}\] On a \[X_n=1+\sum_{i=1}^{n-1}Y_i,\] et par conséquent \[\begin{aligned}E(X_n)&=1+\sum_{i=1}^{n-1}E(Y_i)\\ &=1+\sum_{i=1}^{n-1}P(Y_i=1)\\ &=1+\sum_{i=1}^{n-1}\dfrac{i}{n+i}, \end{aligned}\] ainsi \[\begin{aligned}\dfrac{E(X_n)}{n}& =\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1}\dfrac{i}{n+i}\\ &=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{i/n}{1+i/n}-\dfrac{1}{2n}. \end{aligned}\] Il ne reste plus qu’à faire tendre \(n\) vers l’infini et reconnaitre dans le second terme une somme de Riemann : \[\lim_{n\to\infty}\dfrac{E(X_n)}{n}=\int_0^1\,\dfrac{x}{1+x}dx=1-\log(2).\]


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