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[ID: 3127] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

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L’inégalité Arithmético-Géométrique version améliorée via Taylor-Lagrange
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

Appliquons¹ donc à la fonction \(x\mapsto\log(x)\) la formule de Taylor-Lagrange en les points² \(\overline{x_a}, x_i\in [m,M],\ (1\leq i\leq n)\) : \[\log(x_i)=\log(\overline{x_a})+\dfrac{x_i-\overline{x_a}}{\overline{x_a}}- \dfrac{(x_i-\overline{x_a})^2}{2\left[ \overline{x_a}+\theta_i(x_i-\overline{x_a})\right]^2},\] sommons pour \(1\leq i\leq n\) ces égalités \[\log(x_1\dots x_n)=n\log(\overline{x_a})+\sum_{i=1}^n \dfrac{(x_i-\overline{x_a})^2}{2\left[ \overline{x_a}+\theta_i(x_i-\overline{x_a})\right]^2}\] que l’on peut encore écrire \[\log\left( \dfrac{\overline{x_a}}{\overline{x_g}}\right) =\dfrac{1}{2n} \sum_{i=1}^n \dfrac{(x_i-\overline{x_a})^2}{\left[ \overline{x_a}+\theta_i(x_i-\overline{x_a})\right]^2}.\] Il ne reste plus qu’à remarquer que \(m\leq \overline{x_a}+ \theta_i(x_i-\overline{x_a})\leq M,\ (1\leq i\leq n)\) donne \[\dfrac{\sigma^2}{2M}\leq \log\left( \dfrac{\overline{x_a}}{\overline{x_g}}\right) \leq \dfrac{\sigma^2}{2m}\] où encore \[\exp(\sigma^2/2M^2)\leq \dfrac{\overline{x_a}}{\overline{x_g}}\leq \exp(\sigma^2/2m^2).{(\text{$\star$})}\] Comme \(1\leq \exp(\sigma^2/2M)\) on retrouve la forme classique de l’inégalité inégalité Arithmético-Géométrique : \(\overline{x_g}\leq \overline{x_a}\) ; en outre (\(\star\)) assure que \(\overline{x_g}=\overline{x_a}\) si et seulement si \(\sigma=0\) i.e. si et seulement si \(x_1=\dots=x_n\).

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1. 1  M.Perisastry & V.N.Murty Two Years College Mathematics Journal, 13-2 (1982).
2. 2  On exclut le cas trivial où tous les \(x_i\) sont nuls ainsi que, quitte à diminuer \(n\), celui où certains \(x_i\) sont nuls.