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[ID: 3125] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Géométrie
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

- Solution 1 :  On se fixe un repère où \[O=(0,0),\ H=(-11,0),\ F=(-11,-5)\ \text{ et }\ M=(0,-5).\] Comme \(B\) et \(C\) sont équidistants de \(M\) et \(O\) il existe \(x>0\) tel que \[C=(x,-5)\ \text{ et }\ B=(-x,5),\] il existe aussi \(y\in\mathbb R\) tel que \(A=(-11,y).\)

La hauteur issue de \(B\) passant par \(H\), sa pente vaut \(5/(x-11)\) et comme elle est perpendiculaire à \(AC\) qui admet comme pente \(-(y+5)/(x+11)\) leur produit vaut \(-1\), soit \[5(y+5)=(x-11)(x+11).{(1)}\] D’autre part, \(A\) et \(B\) sont équidistants de \(0\), donc \[y^2+11^2=x^2+5^2.{(2)}\] (1) et (2) impliquent \(y^2-5y-50=0\) soit \(y=10\) ou \(y=-5\) mais cette dernière possibilité est exclue (\(y=-5\) implique \(A=F\)...) donc \(y=10\) et \(BC=2x=28\).

- Solution 2 :  Le centre de gravité \(G\) du triangle est colinéaire avec \(H\) et \(O\) (c’est la droite d’Euler) et \(OG=OH/3\) par conséquent \(AF=3OM=15\). Il est facile de vérifier (les triangles \(HBF\) et \(CAF\) sont semblables) que \[\angle (HBF)=\angle(CAF)=\pi-2\angle(C).\] Donc \[\dfrac{BF}{FH}=\dfrac{AF}{FC}\] soit \[BF\cdot FC=FH\cdot AF=5\cdot 15=75.\] Maintenant \[BC^2=(BF+FC)^2=(FC-BF)^2+4BF\cdot FC\] et comme \(M\) est le milieu de \(BC\) \[FC-BF=(FM+MC)-(BM-FM)=2FM=2HO=22,\] donc \[BC=\sqrt{(FC-BF)^2+4BF\cdot FC}=\sqrt{22^2+4\cdot 75}=\sqrt{784}=28.\]

- Solution 3 :  On choisit à nouveau un repère centré en \(O\). \(O\) étant le centre du cercle circonscrit on a1 \(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) donc \[\overrightarrow{OM}=\dfrac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} }{2}=\dfrac{\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{HA}}{2}.\] soit \(AH=2OM=10\).

Maintenant \(OC=OA=\sqrt{AH^2+HO^2}=\sqrt{221}\) et finalement \[BC=2MC=2\sqrt{OC^2-OM^2}=2\sqrt{221-25}=28.\]

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1. 1  Vous devez le savoir, sinon exercice...