Soit \(HOMF\) un rectangle avec \(HO=11,\ OM=5\). Soit \(ABC\) un triangle tel que : \(H\) est à l’intersection des hauteurs, \(O\) est le centre du cercle circonscrit, \(M\) est le milieu de \(BC\) et \(F\) est le pied de la hauteur issue de \(A\). Déterminer la longueur du segment \(BC\).


Barre utilisateur

[ID: 3125] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Géométrie
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

Solution 1 :  On se fixe un repère où \[O=(0,0),\ H=(-11,0),\ F=(-11,-5)\ \text{ et }\ M=(0,-5).\] Comme \(B\) et \(C\) sont équidistants de \(M\) et \(O\) il existe \(x>0\) tel que \[C=(x,-5)\ \text{ et }\ B=(-x,5),\] il existe aussi \(y\in\mathbb R\) tel que \(A=(-11,y).\)

La hauteur issue de \(B\) passant par \(H\), sa pente vaut \(5/(x-11)\) et comme elle est perpendiculaire à \(AC\) qui admet comme pente \(-(y+5)/(x+11)\) leur produit vaut \(-1\), soit \[5(y+5)=(x-11)(x+11).{(1)}\] D’autre part, \(A\) et \(B\) sont équidistants de \(0\), donc \[y^2+11^2=x^2+5^2.{(2)}\] (1) et (2) impliquent \(y^2-5y-50=0\) soit \(y=10\) ou \(y=-5\) mais cette dernière possibilité est exclue (\(y=-5\) implique \(A=F\)...) donc \(y=10\) et \(BC=2x=28\).

Solution 2 :  Le centre de gravité \(G\) du triangle est colinéaire avec \(H\) et \(O\) (c’est la droite d’Euler) et \(OG=OH/3\) par conséquent \(AF=3OM=15\). Il est facile de vérifier (les triangles \(HBF\) et \(CAF\) sont semblables) que \[\angle (HBF)=\angle(CAF)=\pi-2\angle(C).\] Donc \[\dfrac{BF}{FH}=\dfrac{AF}{FC}\] soit \[BF\cdot FC=FH\cdot AF=5\cdot 15=75.\] Maintenant \[BC^2=(BF+FC)^2=(FC-BF)^2+4BF\cdot FC\] et comme \(M\) est le milieu de \(BC\) \[FC-BF=(FM+MC)-(BM-FM)=2FM=2HO=22,\] donc \[BC=\sqrt{(FC-BF)^2+4BF\cdot FC}=\sqrt{22^2+4\cdot 75}=\sqrt{784}=28.\]

Solution 3 :  On choisit à nouveau un repère centré en \(O\). \(O\) étant le centre du cercle circonscrit on a1 \(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) donc \[\overrightarrow{OM}=\dfrac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} }{2}=\dfrac{\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{HA}}{2}.\] soit \(AH=2OM=10\).

Maintenant \(OC=OA=\sqrt{AH^2+HO^2}=\sqrt{221}\) et finalement \[BC=2MC=2\sqrt{OC^2-OM^2}=2\sqrt{221-25}=28.\]


  1. 1  Vous devez le savoir, sinon exercice...

Documents à télécharger