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[ID: 3123] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Restes et sommes partielles de deux séries
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

1. Inutile de s’attarder sur la divergences des deux séries \(\sum_n\,a_n,\ \sum_n\,b_n\) et l’équivalence de leur termes généraux qui sont élémentaires ; posons \(A_n=\sum_{k=1}^n\,a_n,\ B_n=\sum_{k=1}^n\,b_n\) alors \[A_n=\begin{cases} 1\ \ \ \text{si}\ n\equiv 0(2),\\ 0\ \ \ \text{sinon}. \end{cases},\quad B_n=A_n+1+\dfrac{1}{2}+\dots+\dfrac{1}{n}.\] \((A_n)_n\) est donc bornée, \((B_n)_n\) tends vers \(+\infty\) : elles ne peuvent être équivalentes.

2.  Les séries \(\sum_n c_n,\ \sum_n\,d_n\) sont convergentes à termes généraux équivalents. Posons \[\begin{aligned}&C_n=\sum_{k\geq n}c_n,\ D_n=\sum_{k\geq n}d_n\\ &e_n=c_{2n}+c_{2n+1}=\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{2n+1}=\dfrac{1}{2n(2n+1)}\underset{\infty}{\sim}\dfrac{1}{4n^2} \end{aligned}\] Des théorèmes de comparaisons séries/intégrales il vient \[\begin{aligned}&\dfrac{1}{4(n+1)}=\int_{n+1}^\infty\,\dfrac{dt}{4t^2}\leq\sum_{k\geq n}\dfrac{1}{4k^2} \leq \int_{n}^\infty\,\dfrac{dt}{4t^2}=\dfrac{1}{4n}\\ &\dfrac{2}{\sqrt{n+1}}=\int_{n+1}^\infty\,\dfrac{dt}{t\sqrt{t}}\leq\sum_{k\geq n}\dfrac{1}{k\sqrt{k}} \leq \int_{n}^\infty\,\dfrac{dt}{t\sqrt{t}}=\dfrac{2}{\sqrt{n}} \end{aligned}\] soit \[\sum_{k\geq n}\dfrac{1}{4k^2}\underset{\infty}{\sim}\dfrac{1}{4n},\quad \sum_{k\geq n}\dfrac{1}{k\sqrt{k}}\underset{\infty}{\sim}\dfrac{2}{\sqrt{n}}.\] et comme \(e_n\sim 1/4n^2\), le théorème sur l’équivalence des restes des séries convergentes à termes positifs assure que \[\sum_{k\geq n}\,e_n \underset{\infty}{\sim}\dfrac{1}{4n}.\] Mais, pour tout \(n\geq 1\), \[C_{2n+1}=\sum_{k\geq 2n}=\sum_{k\geq n} e_n\underset{\infty}{\sim}\dfrac{1}{4n}\] et comme \[C_{2n}=-\dfrac{1}{2n+1}+C_{2n+1}\] implique \[\dfrac{C_{2n}}{C_{2n+1}}=1-\dfrac{1}{C_{2n+1}(2n+1)},\] soit \[\vert C_{2n}\vert\underset{\infty}{\sim}\dfrac{1}{4n}\] et finalement \[\vert C_n\vert\underset{\infty}{\sim}\dfrac{1}{2n}.\] De l’autre coté, \(d_n=c_n+\frac{1}{n\sqrt{n}}\) donne \[D_n=C_n+\sum_{k\geq n}\dfrac{1}{k\sqrt{k}}\underset{\infty}{\sim}\dfrac{1}{2n}+\dfrac{2}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{n}}\] i.e. \(C_n=o(D_n)\).

    Remarque : La positivité est donc essentielle, les régles sont les suivantes :

   – Soient \((a_n)_n, (b_n)_n\) deux suites de nombres réels, si \(a_n>0\) à partir d’un certain rang, si la série \(\sum_n a_n\) diverge et si \(b_n\sim a_n\), alors leurs sommes partielles sont équivalentes.

   – Soient \((a_n)_n, (b_n)_n\) deux suites de nombres réels, si \(a_n>0\) à partir d’un certain rang, si la série \(\sum_n a_n\) converge et si \(b_n\sim a_n\), alors leurs suites des restes sont équivalentes.