1.  (Préliminaire) Soient \(I\) un intervalle ouvert de \(\mathbb R\), \(f\ :\ I\to\mathbb R\) une application dérivable un point \(a\in I\) montrer que pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(\delta>0\) tel que \[\left\vert\dfrac{f(t_1)-f(t_2)}{t_1-t_2}-\dfrac{f(u_1)-f(u_2)}{u_1-u_2}\right\vert<\varepsilon\] pour tous \(t_1<a<t_2,\ u_1<a<u_2\) dans \(]a-\delta,a+\delta[\).

  2.  Soit \(G\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) définie par \(G(x)=\text{dist}(x,\mathbb Z)\) ; pour \(n\in\mathbb N\) on pose \(G_(x)=\text{dist}(2^nx,\mathbb Z)\) puis \(H(x)=\sum_{n\geq 0}2^{-n}G_n(x)\).

    -Montrer que \(H\in\mathscr C^0(\mathbb R)\) et que la réunion des points de non dérivabilité des fonctions \(G_n\) est dense dans \(\mathbb R\).

    Soient \(a\in\mathbb R,\ \delta>0\).

    -Montrer qu’il existe \(k\in\mathbb N,\ r\in\mathbb Z\) tels que \[a-\delta<x_1=\dfrac{r}{2^k}<x_2=\dfrac{r+1}{2^k}<a+\delta\] et étudier la quantité \[\dfrac{H(\xi)-f(x_1)}{\xi-x_1}-\dfrac{H(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\] (où \(\xi=(x_1+x_2)/2\)) pour en déduire la non dérivabilité de \(H\) au point \(a\).

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[ID: 3121] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




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Une fonction continue nulle part dérivable
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

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