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[ID: 3117] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

L’équation \(\det(A+X)=\det(X),\ X\in M_n(\mathbb R)\).
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

- Soit \(r:=\text{rang}(A)\), on sait qu’il existe \(P,Q\in GL_n(\mathbb R)\) telles que \[A=P\begin{pmatrix} I_r&0\\0&0\end{pmatrix}Q.\] Posons \(\displaystyle X= P\begin{pmatrix} 0&0\\0&I_{n-r}\end{pmatrix}Q\), pour un tel choix \[\det(X)=\det(A+X)=\det(PI_nQ)=\det(P)\det(Q)\neq 0\] qui exige \(n=n-r\) soit \(r=\text{rang}(A)=0\) et \(A\) est bien la matrice nulle.

- Si \(A,B\in M_n(\mathbb R)\) vérifient \(\forall\,X\in M_n(\mathbb R)\ :\ \det(A+X)=\det(B+X)\) posons \(Y=B+X\), alors \(Y\) décrit \(M_n(\mathbb R)\) et l’équation s’écrit \(\det(A-B+Y)=\det(Y),\ Y\in M_n(\mathbb R)\), soit \(A-B=0\) vu le premier point.

 Remarque :  Pour montrer que \(A=B\) le calcul différentiel fourni une solution plus élaborée mais trés élégante : remplaçons \(X\) par \(t^{-1}X\) et multiplions par \(t^n\), on obtient \[\forall\,X\in M_n(\mathbb R),\ t\in\mathbb R\ :\ \det(X+tA)=\det(X+tB).\] Dérivons par rapport à \(t\) et faisons \(t=0\), comme \[\dfrac{d}{dt}\left( \det(X+tA)\right)_{t=0}=\text{tr}\left(\, ^t\!(\text{com}\,X)A\right) ,\] le formule précédente nous donne alors \[\forall\,X\in M_n(\mathbb R),\ :\quad\text{tr}\left(\, ^t\!(\text{com}\,X)A\right)=\text{tr}\left(\, ^t\!(\text{com}\,X)B\right)\] cette formule devient si \(X\) est inversible (car bien sûr \(X^{-1}\det(X)=^t\!(\text{com}\,X)\)...) : \(\forall\,X\in GL_n(\mathbb R),\ :\ \text{tr}\left(\, X^{-1}A\right)=\text{tr}\left(\, X^{-1}B\right)\) soit \[\forall\,X\in GL_n(\mathbb R),\ :\quad \text{tr}\left(\, X(A-B)\right)=0,\] puis, par densité de \(GL_n(\mathbb R)\) dans \(M_n(\mathbb C)\) : \[\forall\,X\in M_n(\mathbb R),\ :\quad \text{tr}\left(\, X(A-B)\right)=0,\] qui implique \(A-B=0\) (en effet \(\text{tr}\left(\, X(A-B)\right)=\langle X,A-B\rangle\) où \(\langle X, Y\rangle=\text{tr}\left(\, ^t\!XY\right))\) est un produit scalaire sur \(M_n(\mathbb R)\)...).