1.  Pour \(n\in\mathbb N\) on pose \(f_n(x)=\sin(nx)\) ; étudier l’équicontinuité sur \([0,1]\) de la suite de fonctions \((f_n)_n\).

  2.  Soient \(X\) un espace métrique, \((f_n)_n\subset\mathscr C(X)\). Démontrer que si la suite \((f_n)_n\) est équicontinue en un point \(x\in X\) alors, pour toute suite \((x_n)_n\) dans \(X\) convergente vers \(x\) la suite \((f_n(x_n)-f_n(x))_n\) converge vers \(0\). En déduire que la suite de terme général \(f_n(x)=\sin(nx)\) n’est équicontinue en aucun point \(x\in\mathbb R\).

  3.  On munit l’espace \(\mathscr C_b(\mathbb R_+,\mathbb R)\) des fonctions continues et bornées sur \(\mathbb R_+\) de la norme sup et soit dans \(\mathscr C_b(\mathbb R_+,\mathbb R)\) la suite de terme général \[f_n(x)=\sin\sqrt{x+4\pi^2n^2},\quad x\in\mathbb R_+,\ n\in\mathbb N.\]

    - Montrer que la suite \((f_n)_n\) est uniformément équicontinue sur \(\mathbb R_+\).

    - Montrer que \((f_n)_n\) est simplement convergente sur \(\mathbb R_+\) vers \(f\equiv 0\) et que \(f_n(\mathbb R_)\) est relativement compact pour tout entier \(n\).

    - Supposons \((f_n)_n\) relativement compacte dans \(\mathscr C_b(\mathbb R_+,\mathbb R)\), montrer qu’elle converge uniformément sur \(\mathbb R_+\). En déduire que \((f_n)_n\) n’est pas relativement compacte dans \(\mathscr C_b(\mathbb R_+,\mathbb R)\).

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[ID: 3115] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




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Équicontinuité
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

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