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[ID: 3113] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Preuve probabiliste du théorème d’approximation de Bernstein
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

1.  La suite \((X_n)_n\) étant une suite de variables aléatoire indépendantes suivant une même loi de Bernoulli de paramètre \(x\) il est bien connu ([ouvrard]-1, proposition 3-15) que \(S_n\) suit une loi binomiale de \(\mathscr B(n,x)\). Par le théorème du transfert ([ouvrard]-1, théorème 5-2) \[\begin{aligned}{\rm E}\left[ f\left( \dfrac{S_n}{n}\right)\right]&=\sum_{k=0}^n\, f\left( \dfrac{k}{n}\right)P(S_n=k)\\ &=\sum_{k=0}^n\,f\left( \dfrac{k}{n}\right) \binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}\\ &=B_n(f,x). \end{aligned}\]

2.  Soit \(x\in[0,1]\). \[\begin{aligned} \vert B_n(f,x)-f(x)\vert&=\left\vert{\rm E}\left[ f\left( \dfrac{S_n}{n}\right)\right]-f(x)\right\vert\\ &\leq {\rm E}\left[ \mathbf{1}_{\left(\left\vert\frac{S_n}{n}-x\right\vert\leq\varepsilon\right)} \left\vert f\left( \dfrac{S_n}{n}\right)-f(x) \right\vert\right] + {\rm E}\left[ \mathbf{1}_{\left(\left\vert\frac{S_n}{n}-x\right\vert>\varepsilon\right)} \left\vert f\left( \dfrac{S_n}{n}\right)-f(x) \right\vert \right] \\ &\leq \delta(\varepsilon)\cdot P\left(\left\vert\frac{S_n}{n}-x\right\vert\leq\varepsilon\right)+2\Vert f\Vert_\infty\cdot P \left(\left\vert\frac{S_n}{n}-x\right\vert>\varepsilon\right)\\ & \delta(\varepsilon)+2\Vert f\Vert_\infty\cdot P \left(\left\vert\frac{S_n}{n}-x\right\vert>\varepsilon\right). \end{aligned}\] Alors, avec l’inégalité de Tchebichev1 et sachant que2 \(S_n\hookrightarrow\mathscr B(n,x)\) : \[P \left(\left\vert\frac{S_n}{n}-x\right\vert>\varepsilon\right) =P \left(\left\vert\frac{S_n}{n}-E(S_n/n)\right\vert>\varepsilon\right)\leq \dfrac{{\rm{Var}}(S_n)}{n^2\varepsilon^2}=\dfrac{nx(1-x)}{n^2\varepsilon^2},\] et ceci pour tout \(x\in[0,1]\) et \(n\in\mathbb N\). Ainsi, pour tous \(\varepsilon>0, n\in\mathbb N\) \[\begin{aligned} \sup_{x\in[0,1]} \vert B_n(f,x)-f(x)\vert\leq \delta(\varepsilon)+ \dfrac{ \Vert f\Vert_\infty}{2n\varepsilon^2} . \end{aligned}\] soit \[\limsup_{n\to\infty}\Vert B_n-f\Vert_\infty\leq \delta(\varepsilon),\quad \forall\,\varepsilon>0.\] \(f\) étant uniformément continue sur \([0,1]\) : \(\lim_n\delta(\varepsilon)=0\) i.e. \[\limsup_{n\to\infty}\Vert B_n-f\Vert_\infty=\lim_{n\to\infty}\Vert B_n-f\Vert_\infty=0.\] C.Q.F.D.

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1. [ledoux], pp 59, ou bien [ouvrard] pp. 133.1  \(P(\vert X-E(X)\vert>t)\leq \dfrac{{\rm{Var}}(X)}{t^2},\ X\in L^2\), voir
2. 2  \(E(S_n)=nx,\ Var(S_n)=nx(1-x)\)...