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[ID: 3111] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

La formule de Stirling via la loi de Poisson
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

1.  On a \[\varphi_{X_\lambda}(\theta)=\sum_{k=0}^\infty\,p(X_\lambda=k)e^{ik\theta}=e^{\lambda(e^{i\theta}-1)}.\] La convergence uniforme sur \(\mathbb R\) (par rapport à la variable \(\theta\)) et donc sur \([-\pi,\pi]\) assure une intégration terme à terme pour en déduire que la série précédente est bien la série de Fourier de \(\varphi_{X_\lambda}\) : \[p(X_\lambda=k)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\,\varphi_{X_\lambda}(\theta)e^{-ik\theta}d\theta,\quad \forall\,\lambda>0,\ k\in\mathbb N.\] En particulier, \(\lambda=k\) donne la formule désirée.

2.  Faisons le changement de variable \(y=\theta\sqrt{k}\) dans \(I_k\), il vient \[\begin{aligned}I_k\sqrt{k}=\dfrac{k^{k+1/2}}{k!}e^{-k} &=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi\sqrt{k}}^{\pi\sqrt{k}}\,\exp\left[ {k(e^{iy/\sqrt{k}}-1-iy/\sqrt{k})}\right] dy\\ &=\int_\mathbb R \mathbf{1}_{[-\pi\sqrt{k}, \pi\sqrt{k}]}(y)\exp\left[ {k(e^{iy/\sqrt{k}}-1-iy/\sqrt{k})}\right] dy. \end{aligned}\] Mais l’intégrande est simplement convergente sur \(\mathbb R\) vers \(t\mapsto e^{-t^2/2}\) lorsque \(k\to\infty\) et on a la domination \[\left\vert\exp\left[ {k(e^{iy/\sqrt{k}}-1-iy/\sqrt{k})}\right]\right\vert= e^{k(\cos(y/\sqrt{k})-1)}=e^{-2k\sin^2(y/2\sqrt{k})}\leq e^{-2y^2/\pi^2}\in L^1(\mathbb R)\] donc par convergence dominée \[\lim_{k\to\infty } I_k\sqrt{k} =\lim_{k\to\infty }\dfrac{k^{k+1/2}}{k!}e^{-k}=\int_\mathbb R \,e^{-t^2/2}dt=\sqrt{2\pi},\] et on retrouve bien la formule de Stirling.