Lecture zen
*
Analyse sur une ligne brisée
On considère une ligne brisée dont les longueurs \(L_1, L_2,\dots L_n,\dots\) des segments successifs \(S_1,S_2,\dots,S_n,\dots\) valent respectivement \(1,1/2,\dots,1/n,\dots\). Soit \(\theta\in [0,2\pi[\), on suppose en outre que chaque segment fait avec le précédent un angle \(\theta\). Déterminer la distance et l’angle entre l’extrémité initiale et finale (lorsqu’elle existe...) de cette ligne brisée.
Barre utilisateur
[ID: 3109] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Analyse sur une ligne brisée
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18
On se place dans le plan complexe et sans perdre de généralité supposons que le premier segment relie les points \(0\) et \(1\). Il est alors clair que pour \(\theta=0\) (resp. \(\theta=\pi\)) la ligne brisée va (par divergence de la série harmonique) décrire tout le demi axe \(\mathbb R_+\) (resp. \(\mathbb R_-\)) qui n’aura donc pas d’extrémité finale. Nous allons vérifier que ce sont les seules valeurs de \(\theta\) qui font diverger la contruction.
Fixons \(\theta\in [0,2\pi[\), le second segment va relier les points \(1\) et \(1+\frac{e^{i\theta}}{2}\) ; le \(n\)-ième segment représente le complexe \(\frac{e^{i(n-1)\theta}}{n}\) et par conséquent, lorsqu’il sera raccordé aux \(n-1\) précédents son extrémité finale est \(\sum_{k=1}^n\frac{e^{i(k-1)\theta}}{k}\).
Ainsi, à \(\theta\) fixé, la ligne brisée aura une extrémité finale si, et seulement si la série \[\sum_{k=1}^\infty\dfrac{e^{i(k-1)\theta}}{k}{\text{($\star$)}}\] converge.
- Si \(\theta\equiv 0(\pi)\) on retrouve la série harmonique, la ligne brisée n’a pas d’extrémité finale.
- Pour \(\theta\not\equiv 0(\pi)\) écrivons \(e^{i(k-1)\theta}\cdot \frac{1}{k}=a_k\cdot b_k\), alors \[\left\vert \sum_{k=1}^n a_k\right\vert=\left\vert\sum_{k=1}^n e^{i(k-1)\theta}\right\vert \leq\left\vert\dfrac{1-e^{in\theta}}{1-e^{i\theta}}\right\vert\leq \dfrac{2}{\vert 1-e^{i\theta}\vert}<\infty.\] Comme \(b_k=1/k\) décroit vers \(0\) la convergence de la série (\(\star\)) est assurée par le lemme d’Abel1.
Il reste maintenant à évaluer la somme de la série, pour cela utilisons un autre théorème d’Abel2 : \[\text{Si }\ \sum_{k\geq 1}c_k\ \text{converge, alors }\ \lim_{r\to 1_-} \sum_{k\geq 1}c_kr^k=\sum_{k\geq 1}c_k.\] On peut donc écrire \[\sum_{k=1}^\infty\dfrac{e^{i(k-1)\theta}}{k}=\lim_{r\to 1_-}\sum_{k=1}^\infty\dfrac{\left(re^{ik\theta}\right)}{k}\cdot e^{-i\theta}\] et poser \(z=re^{i\theta}\) pour reconnaitre le développement en série entière de la valeur principale de \(z\mapsto-\log(1-z)\)3 : \[\sum_{k=1}^\infty\dfrac{e^{i(k-1)\theta}}{k}=\lim_{r\to 1_-}-e^{i\theta}\log(1-re^{i\theta}) =-e^{i\theta}\log(1-e^{i\theta})\] ainsi \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^\infty\dfrac{e^{i(k-1)\theta}}{k}&=-e^{i\theta}\log(1-e^{i\theta})\\ &=e^{i(\pi-\theta)}\log(2\sin(\theta/2)e^{i(\theta-\pi)/2})\\ &=e^{i(\pi-\theta)}\left(\log(2\sin(\theta/2))+i\cdot\dfrac{\theta-\pi}{2}\right) \end{aligned}\] La distance entre les deux extrémités de la ligne brisée est donc égale à \[\sqrt{\log^2(2\sin(\theta/2))+ \dfrac{(\theta-\pi)^2}{4}},\] et l’angle \[\pi-\theta+{\rm{arg}}\left( \log(2\sin(\theta/2))+i\cdot\dfrac{\theta-\pi}{2}\right).\]
Remarque : Pour montrer que \[\sum_{k=1}^\infty\dfrac{e^{ik\theta}}{k}=-\log(1-e^{i\theta})=\log(2\sin(\theta/2))+ i\cdot\dfrac{\pi-\theta}{2}{\text{($\star$)}}\] on peut aussi utiliser les séries de Fourier. En effet la série Fourier de la fonction \(2\pi\)-périodique impaire égale à \(\theta\mapsto (\pi-\theta)/2\) sur \([0,2\pi]\) est \(\sum_{k\geq 1}\frac{\sin(k\theta)}{k}\), celle de \(\theta\mapsto\log(2\sin(\theta/2))\) est \(-\sum_{k\geq 1}\frac{\cos(k\theta)}{k}\). Les deux applications étant de classe \(\mathscr C^1\) sur \(]0,2\pi[\) elles y sont développables en série de Fourier, soit \[\sum_{k\geq 1}\frac{\cos(k\theta)}{k}=-\log(2\sin(\theta/2)),\quad \sum_{k\geq 1}\frac{\sin(k\theta)}{k}=\dfrac{\pi-\theta}{2},\quad 0<\theta<2\pi.\] La relation d’Euler \(e^{ik\theta}=\cos(k\theta)+i\sin(k\theta)\) nous redonne alors (\(\star\)).
Documents à télécharger
L'exercice