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[ID: 3109] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Analyse sur une ligne brisée
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

On se place dans le plan complexe et sans perdre de généralité supposons que le premier segment relie les points \(0\) et \(1\). Il est alors clair que pour \(\theta=0\) (resp. \(\theta=\pi\)) la ligne brisée va (par divergence de la série harmonique) décrire tout le demi axe \(\mathbb R_+\) (resp. \(\mathbb R_-\)) qui n’aura donc pas d’extrémité finale. Nous allons vérifier que ce sont les seules valeurs de \(\theta\) qui font diverger la contruction.

Fixons \(\theta\in [0,2\pi[\), le second segment va relier les points \(1\) et \(1+\frac{e^{i\theta}}{2}\) ; le \(n\)-ième segment représente le complexe \(\frac{e^{i(n-1)\theta}}{n}\) et par conséquent, lorsqu’il sera raccordé aux \(n-1\) précédents son extrémité finale est \(\sum_{k=1}^n\frac{e^{i(k-1)\theta}}{k}\).

Ainsi, à \(\theta\) fixé, la ligne brisée aura une extrémité finale si, et seulement si la série \[\sum_{k=1}^\infty\dfrac{e^{i(k-1)\theta}}{k}{\text{($\star$)}}\] converge.

- Si \(\theta\equiv 0(\pi)\) on retrouve la série harmonique, la ligne brisée n’a pas d’extrémité finale.

- Pour \(\theta\not\equiv 0(\pi)\) écrivons \(e^{i(k-1)\theta}\cdot \frac{1}{k}=a_k\cdot b_k\), alors \[\left\vert \sum_{k=1}^n a_k\right\vert=\left\vert\sum_{k=1}^n e^{i(k-1)\theta}\right\vert \leq\left\vert\dfrac{1-e^{in\theta}}{1-e^{i\theta}}\right\vert\leq \dfrac{2}{\vert 1-e^{i\theta}\vert}<\infty.\] Comme \(b_k=1/k\) décroit vers \(0\) la convergence de la série (\(\star\)) est assurée par le lemme d’Abel1.

Il reste maintenant à évaluer la somme de la série, pour cela utilisons un autre théorème d’Abel² : \[\text{Si }\ \sum_{k\geq 1}c_k\ \text{converge, alors }\ \lim_{r\to 1_-} \sum_{k\geq 1}c_kr^k=\sum_{k\geq 1}c_k.\] On peut donc écrire \[\sum_{k=1}^\infty\dfrac{e^{i(k-1)\theta}}{k}=\lim_{r\to 1_-}\sum_{k=1}^\infty\dfrac{\left(re^{ik\theta}\right)}{k}\cdot e^{-i\theta}\] et poser \(z=re^{i\theta}\) pour reconnaitre le développement en série entière de la valeur principale de \(z\mapsto-\log(1-z)\)3 : \[\sum_{k=1}^\infty\dfrac{e^{i(k-1)\theta}}{k}=\lim_{r\to 1_-}-e^{i\theta}\log(1-re^{i\theta}) =-e^{i\theta}\log(1-e^{i\theta})\] ainsi \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^\infty\dfrac{e^{i(k-1)\theta}}{k}&=-e^{i\theta}\log(1-e^{i\theta})\\ &=e^{i(\pi-\theta)}\log(2\sin(\theta/2)e^{i(\theta-\pi)/2})\\ &=e^{i(\pi-\theta)}\left(\log(2\sin(\theta/2))+i\cdot\dfrac{\theta-\pi}{2}\right) \end{aligned}\] La distance entre les deux extrémités de la ligne brisée est donc égale à \[\sqrt{\log^2(2\sin(\theta/2))+ \dfrac{(\theta-\pi)^2}{4}},\] et l’angle \[\pi-\theta+{\rm{arg}}\left( \log(2\sin(\theta/2))+i\cdot\dfrac{\theta-\pi}{2}\right).\]

 Remarque :  Pour montrer que \[\sum_{k=1}^\infty\dfrac{e^{ik\theta}}{k}=-\log(1-e^{i\theta})=\log(2\sin(\theta/2))+ i\cdot\dfrac{\pi-\theta}{2}{\text{($\star$)}}\] on peut aussi utiliser les séries de Fourier. En effet la série Fourier de la fonction \(2\pi\)-périodique impaire égale à \(\theta\mapsto (\pi-\theta)/2\) sur \([0,2\pi]\) est \(\sum_{k\geq 1}\frac{\sin(k\theta)}{k}\), celle de \(\theta\mapsto\log(2\sin(\theta/2))\) est \(-\sum_{k\geq 1}\frac{\cos(k\theta)}{k}\). Les deux applications étant de classe \(\mathscr C^1\) sur \(]0,2\pi[\) elles y sont développables en série de Fourier, soit \[\sum_{k\geq 1}\frac{\cos(k\theta)}{k}=-\log(2\sin(\theta/2)),\quad \sum_{k\geq 1}\frac{\sin(k\theta)}{k}=\dfrac{\pi-\theta}{2},\quad 0<\theta<2\pi.\] La relation d’Euler \(e^{ik\theta}=\cos(k\theta)+i\sin(k\theta)\) nous redonne alors (\(\star\)).

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1. 1  Voir par exemple.....................
2. 2  Et cette fois-ci.............
3. 3  \(\log(z)={\rm{ln}}(\vert z\vert)+i\cdot{\rm{arg}}(z),\ z\in\mathbb C\setminus\mathbb R_-\), \(-\pi<{\rm{arg}}(z)<\pi\) et \(\log(1-z)=-\sum_{k\geq 1}z^k/k\) pour \(\vert z\vert<1\)