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Le saviez vous ?
Montrer qu’il existe une famille non dénombrable \((N_x)_{x\in\mathbb R}\) de parties deux à deux distinctes de \(\mathbb N\) qui soit totalement ordonnée pour l’inclusion.
Montrer qu’il existe une famille non dénombrable \((N_x)_{x\in\mathbb R}\) de parties deux à deux distinctes de \(\mathbb N\) dont l’intersection de deux quelconques éléments est finie.
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[ID: 3107] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Le saviez vous ?
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18
Soit \(f\ :\ \mathbb N\to\mathbb Q\) une bijection et considérons pour tout \(x\in\mathbb R\) les ensembles de niveau \(N_x:=\{\,n\in\mathbb N\ :\ f(n)<x\}\). La densité de \(\mathbb Q\) dans \(\mathbb R\) assure que \((x\neq y)\ \Rightarrow\ (N_x\neq N_y)\) : la famille est bien constituée d’éléments deux à deux distincts de \(\mathscr P(\mathbb N)\) et est non dénombrable. En outre par construction \((x\leq y)\ \Rightarrow\ (N_x\subset N_y)\) : elle est donc bien totalement ordonnée pour l’inclusion.
Énumérons les rationnels \(\mathbb Q=\{\,x_n,\ n\in\mathbb N\}\). Maintenant, pour tout réel \(x\in[0,1]\) fixons nous une suite de nombres rationnels deux à deux distincts qui converge vers \(x\) et désignons par \(N_x\) les indices de cette suite dans l’énumération précédente. Les ensembles \(N_x\) sont clairement des parties dénombrables de \(\mathbb N\). En outre pour \(x\neq y\) dans \([0,1]\) l’ensemble \(N_x\cap N_y\) est fini puisque les suites correspondantes convergent vers des limites différentes.
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