Déterminer la partie entière de \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10^9}k^{-2/3}\).


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[ID: 3105] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Partie entière de \(\sum_{k=1}^{10^9}k^{-2/3}\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

La fonction \(t\mapsto t^{-2/3}\) est positive strictement décroissante sur \(\mathbb R_+^\star\), on a donc pour tout \(n\geq 2\) \[\int_{n}^{n+1}\dfrac{dt}{t^{2/3}}< \dfrac{1}{n^{2/3}}< \int_{n-1}^{n}\dfrac{dt}{t^{2/3}}.\] Soit \[\int_{2}^{10^9}\dfrac{dt}{t^{2/3}}<\sum_{k=2}^{10^9}\dfrac{1}{k^{2/3}}< \int_{1}^{10^9}\dfrac{dt}{t^{2/3}},\] donc \[3\left( \sqrt[3]{10^9+1}-\sqrt[3]{2}\right) <\sum_{k=2}^{10^9}\dfrac{1}{k^{2/3}} <3\left( \sqrt[3]{10^9}-1\right) =2997\] et comme \[3\left( \sqrt[3]{10^9+1}-\sqrt[3]{2}\right) >3\left( \sqrt[3]{10^9}-\sqrt[3]{2}\right)\geq 2996\] on en déduit (en rajoutant le terme correspondant à \(n=1\)) que \[2997<\sum_{k=1}^{10^9}\dfrac{1}{k^{2/3}}<2998.\] La partie entière vaut donc \(2997\).


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